試験 / Examination
直接三维偏序。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<numeric>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,Q;
int v[N*6],cnt;
struct Query
{
int a,b,c;
int v,id;
}q[N*2];
int tot;
int id[N*2];
struct BIT
{
int C[N*6];
BIT()
{
memset(C,0,sizeof(C));
return;
}
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=cnt;i+=lowbit(i))
C[i]+=y;
return;
}
int getsum(int x)
{
int res=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
res+=C[i];
return res;
}
int query(int l,int r)
{
return getsum(r)-getsum(l-1);
}
}T;
int ans[N];
void solve(int l,int r)
{
if(l==r) return;
int mid=(l+r)/2;
solve(l,mid);
solve(mid+1,r);
static int idl[N*2],totl;
static int idr[N*2],totr;
totl=0,totr=0;
for(int i=l;i<=mid;i++)
idl[++totl]=id[i];
for(int i=mid+1;i<=r;i++)
idr[++totr]=id[i];
sort(idl+1,idl+totl+1,[=](const int &x,const int &y){return q[x].b>q[y].b;});
sort(idr+1,idr+totr+1,[=](const int &x,const int &y){return q[x].b>q[y].b;});
int i=0;
for(int j=1;j<=totr;j++)
{
while(i+1<=totl&&q[idl[i+1]].b>=q[idr[j]].b) T.add(q[idl[i+1]].c,q[idl[i+1]].v),i++;
if(q[idr[j]].id) ans[q[idr[j]].id]+=T.query(q[idr[j]].c,cnt);
}
for(int k=1;k<=i;k++)
T.add(q[idl[k]].c,-q[idl[k]].v);
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&Q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int s,t;
scanf("%d%d",&s,&t);
v[++cnt]=s,v[++cnt]=t,v[++cnt]=s+t;
q[++tot]={s,t,s+t,1,0};
}
for(int i=1;i<=Q;i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
v[++cnt]=a,v[++cnt]=b,v[++cnt]=c;
q[++tot]={a,b,c,0,i};
}
sort(v+1,v+cnt+1);
cnt=unique(v+1,v+cnt+1)-v-1;
for(int i=1;i<=tot;i++)
{
q[i].a=lower_bound(v+1,v+cnt+1,q[i].a)-v;
q[i].b=lower_bound(v+1,v+cnt+1,q[i].b)-v;
q[i].c=lower_bound(v+1,v+cnt+1,q[i].c)-v;
}
iota(id+1,id+tot+1,1);
sort(id+1,id+tot+1,[=](const int &x,const int &y)
{
if(q[x].a!=q[y].a) return q[x].a>q[y].a;
if(q[x].b!=q[y].b) return q[x].b>q[y].b;
if(q[x].c!=q[y].c) return q[x].c>q[y].c;
return q[x].id<q[y].id;
});
solve(1,tot);
for(int i=tot-1;i>=1;i--)
if(q[id[i]].a==q[id[i+1]].a&&q[id[i]].b==q[id[i+1]].b&&q[id[i]].c==q[id[i+1]].c)
{
if(q[id[i]].id&&q[id[i+1]].id) ans[q[id[i]].id]=ans[q[id[i+1]].id];
}
for(int i=1;i<=Q;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
ビーバーの会合 / Meetings
可以发现 \(\operatorname{Query}(x,y,z)\) 返回的是 \(x,y,z\) 的 LCA 中深度最大的那个。
不妨令当前根节点为 \(x\)，我们在 \(x\) 的子树中随机出一个点 \(y\)，然后对于 \(x\) 的子树中的所有点 \(z\) 分别进行询问 \((x,y,z)\)，这样可以确定出 \(z\) 是否在 \(y\) 的链上，或者是在 \(x\to y\) 的链上某个点的子树内。
对于链上的点我们可以用一次询问比较某两个的深度，直接排序下就好了。
对于在 \(x\to y\) 的链上某个点的子树内的点递归解决即可。
#include"meetings.h"
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<random>
#include<numeric>
#include<functional>
#include<algorithm>
using namespace std;
void Solve(int n)
{
mt19937 rnd((unsigned)time(NULL));
function<int(int,int)>rand=[&](int l,int r)
{
return rnd()%(r-l+1)+l;
};
function<void(int,const vector<int> &)>divide=[&](int x,const vector<int> &node)
{
if(node.size()==1)
{
if(x<node[0]) Bridge(x,node[0]);
else Bridge(node[0],x);
return;
}
vector<int>p=node;
shuffle(p.begin(),p.end(),rnd);
vector<int>id(n);
for(int i=0;i<(int)p.size();i++)
id[p[i]]=i;
vector<vector<int>>son(p.size()+1);
int y=p[0];
vector<int>pos;
for(int i=1;i<(int)p.size();i++)
{
int z=p[i];
int l=Query(x,y,z);
if(l!=z)
{
if(l==x) son.back().emplace_back(z);
else son[id[l]].emplace_back(z);
}
else pos.emplace_back(z);
}
pos.emplace_back(y);
for(int i=0;i<(int)p.size();i++)
if(!son[i].empty()) divide(p[i],son[i]);
if(!son.back().empty()) divide(x,son.back());
sort(pos.begin(),pos.end(),[=](const int &a,const int &b){return Query(a,b,x)==a;});
for(int i=0;i<(int)pos.size();i++)
if(i==0)
{
if(pos[i]<x) Bridge(pos[i],x);
else Bridge(x,pos[i]);
}
else
{
if(pos[i]<pos[i-1]) Bridge(pos[i],pos[i-1]);
else Bridge(pos[i-1],pos[i]);
}
return;
};
int rt=rand(0,n-1);
vector<int>pos;
for(int i=0;i<n;i++)
if(rt!=i) pos.emplace_back(i);
divide(rt,pos);
return;
}
ナン / Naan
我们可以对每个人求出他的快乐度的 \(n\) 等分点的位置。第 \(i\) 次找到还没有确定位置的人里面第 \(i\) 个分割点最小的人，把他放在第 \(i\) 个。这样子每个人拿到的段的右端点都是他的一个等分点，但左端点一定小于等于上一个等分点，所以一定满足条件。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2005;
const int INF=1061109567;
int n,m;
int v[N][N];
struct Factor
{
long long p,q;
bool operator < (const Factor &b)const
{
return (long double)p/q<(long double)b.p/b.q;
}
}pos[N][N];
bool vis[N];
Factor x[N];
int p[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&v[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
long long sum=0;
for(int j=1;j<=m;j++)
sum+=v[i][j];
long long now=0;
long double avg=(long double)sum/n;
for(int j=1,k=1;j<=n;j++)
{
while(k<m&&(long double)(now+v[i][k])/j<avg) now+=v[i][k],k++;
pos[i][j]=(Factor){1LL*n*v[i][k]*(k-1)+sum*j-now*n,1LL*n*v[i][k]};
}
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int a=0;
pos[a][j]=(Factor){INF,1};
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i])
{
if(pos[i][j]<pos[a][j]) a=i;
}
vis[a]=true;
x[j]=pos[a][j];
p[j]=a;
}
for(int i=1;i<=n-1;i++)
printf("%lld %lld\n",x[i].p,x[i].q);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",p[i]);
return 0;
}
ふたつのアンテナ / Two Antennas
不妨令 \(i\lt j,h_i\gt h_j\)，\(h_i\le h_j\) 的情况同理。
考虑扫描线，把询问离线，将 \(h_i\) 在 \(i+a_i\) 的时候加入，\(i+b_i+1\) 时删除。
定义 \(c_i\)，如果 \(h_i\) 被加入，则 \(c_i=h_i\)，否则 \(c_i=-\infty\)。
令 \(d_i\) 表示包含 \(i\) 的天线对的最大代价，考虑加入某个 \(j\) 相当于是将 \([j-b_i,j-a_i]\) 的 \(d_i\) 对 \(c_i-h_j\) 取 \(\max\)，询问相当于是询问一段区间的 \(\max\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200005;
const int INF=1061109567;
int n,Q;
int h[N],a[N],b[N];
struct Segment_Tree
{
struct Node
{
int l,r;
int minc;
int maxc,maxd;
int tagmin,tagmax;
}tree[N<<2];
void push_up(int i)
{
tree[i].minc=min(tree[i*2].minc,tree[i*2+1].minc);
tree[i].maxc=max(tree[i*2].maxc,tree[i*2+1].maxc);
tree[i].maxd=max(tree[i*2].maxd,tree[i*2+1].maxd);
return;
}
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l,tree[i].r=r;
tree[i].tagmin=INF,tree[i].tagmax=-INF;
if(l==r)
{
tree[i].minc=INF;
tree[i].maxc=-INF;
tree[i].maxd=-INF;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
push_up(i);
return;
}
void add(int i,int h)
{
if(tree[i].minc!=INF) tree[i].maxd=max(tree[i].maxd,-tree[i].minc+h);
if(tree[i].maxc!=-INF) tree[i].maxd=max(tree[i].maxd,tree[i].maxc-h);
tree[i].tagmin=min(tree[i].tagmin,h);
tree[i].tagmax=max(tree[i].tagmax,h);
return;
}
void push_down(int i)
{
if(tree[i].tagmin!=INF)
{
add(i*2,tree[i].tagmin);
add(i*2+1,tree[i].tagmin);
tree[i].tagmin=INF;
}
if(tree[i].tagmax!=-INF)
{
add(i*2,tree[i].tagmax);
add(i*2+1,tree[i].tagmax);
tree[i].tagmax=-INF;
}
return;
}
void modify(int i,int l,int r,int h)
{
if(l>r) return;
if(l<=tree[i].l&&tree[i].r<=r) return add(i,h);
push_down(i);
if(l<=tree[i*2].r) modify(i*2,l,r,h);
if(r>=tree[i*2+1].l) modify(i*2+1,l,r,h);
push_up(i);
return;
}
void modify(int i,int u,int c)
{
if(tree[i].l==tree[i].r)
{
if(c==0) tree[i].minc=INF,tree[i].maxc=-INF;
else tree[i].minc=tree[i].maxc=c;
return;
}
push_down(i);
if(u<=tree[i*2].r) modify(i*2,u,c);
else modify(i*2+1,u,c);
push_up(i);
return;
}
int query(int i,int l,int r)
{
if(l<=tree[i].l&&tree[i].r<=r) return tree[i].maxd;
push_down(i);
int res=-INF;
if(l<=tree[i*2].r) res=max(res,query(i*2,l,r));
if(r>=tree[i*2+1].l) res=max(res,query(i*2+1,l,r));
return res;
}
}T;
vector<pair<int,int>>q[N];
vector<pair<int,int>>pos[N];
int ans[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&h[i],&a[i],&b[i]);
scanf("%d",&Q);
for(int i=1;i<=Q;i++)
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
q[r].emplace_back(l,i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i+a[i]<=n) pos[i+a[i]].emplace_back(i,h[i]);
if(i+b[i]+1<=n) pos[i+b[i]+1].emplace_back(i,0);
}
T.build(1,1,n);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
for(auto [i,hi]:pos[j])
T.modify(1,i,hi);
if(j-a[j]>=1) T.modify(1,j-b[j],j-a[j],h[j]);
for(auto [l,i]:q[j])
ans[i]=T.query(1,l,j);
}
for(int i=1;i<=Q;i++)
if(ans[i]<=-INF) printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
ふたつの料理 / Two Dishes
令 \(y_i=\max\left\{j\mid \left(\sum\limits_{k=1}^ia_k+\sum\limits_{k=1}^jb_k\right)\le s_i\right\}\)，\(x_j=\max\left\{i|\left(\sum\limits_{k=1}^ia_k+\sum\limits_{k=1}^jb_k\right)\le t_j\right\}\)。
可以把做菜看做是在一个在 \((n+1)\times (m+1)\) 方格图上从 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\)，每次可以向上走或向右走一格，每走相当于做了一道菜。
可以发现，当 \((i,y_i)\) 在路径的上方或者在路径上时，可以产生 \(p_i\) 的贡献。当 \((x_j,j)\) 在路径的下方或者在路径上时，可以产生 \(q_j\) 的贡献。
这样的贡献比较难处理，一个点 \((x,y)\) 不在路径的上方或在路径上当且仅当 \((x+1,y−1)\) 在路径的下方或在路径上，我们可以将问题转化成求 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 经过的路径下方以及路径上的点的最大权值和。令 \(f_{i,j}\) 表示从 \((0,0)\) 走到 \((i,j)\) 路径下方以及路径上的点的最大权值和，令 \(sum_{i,j}\) 表示第 \(j\) 列在 \((i,j)\) 下面的点的权值和。转移为：
\[f_{i,j}=\max(f_{i,j-1},f_{i-1,j}+sum_{i,j})
\]
这个 DP 其实在做这样一件事情，先进行后缀加上某些数，然后在做一遍前缀和。考虑维护 DP 的差分数组，每次修改变成了单点加，做一遍前缀最大值相当于是将差分数组中的负数和后面的正数相抵，用 std::set 维护一下就好了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<set>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2000005;
int n,m;
int a[N];
long long s[N];
int p[N];
int b[N];
long long t[N];
int q[N];
int x[N],y[N];
long long suma[N],sumb[N];
struct Seg
{
int x,y,v;
}seg[N];
int cnt;
long long val[N];
set<pair<int,long long>>S;
long long f[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%lld%d",&a[i],&s[i],&p[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%lld%d",&b[i],&t[i],&q[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
suma[i]=suma[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
sumb[i]=sumb[i-1]+b[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
y[i]=upper_bound(sumb,sumb+m+1,s[i]-suma[i])-sumb-1;
for(int j=1;j<=m;j++)
x[j]=upper_bound(suma,suma+n+1,t[j]-sumb[j])-suma-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i-1>=0&&y[i]+1<=m) seg[++cnt]=(Seg){i-1,y[i]+1,-p[i]};
for(int j=1;j<=m;j++)
if(x[j]>=0&&j<=m) seg[++cnt]=(Seg){x[j],j,q[j]};
sort(seg+1,seg+cnt+1,[=](const Seg &a,const Seg &b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;});
int j=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
vector<int>pos;
long long add=0;
while(j<=cnt&&seg[j].x==i-1)
{
if(seg[j].y==0) add+=seg[j].v;
else
{
auto it=S.find({seg[j].y,val[seg[j].y]});
if(it!=S.end()) S.erase(it);
pos.push_back(seg[j].y),val[seg[j].y]+=seg[j].v;
if(val[seg[j].y]!=0) S.insert({seg[j].y,val[seg[j].y]});
}
j++;
}
f[i]=f[i-1]+add;
for(int y:pos)
while(val[y]<0)
{
auto it=S.upper_bound({y,val[y]});
if(it==S.end())
{
S.erase(S.find({y,val[y]}));
val[y]=0;
continue;
}
int u=it->first;
S.erase(it);
if(val[u]<0)
{
val[u]+=val[y];
if(val[u]!=0) S.insert({u,val[u]});
S.erase({y,val[y]});
val[y]=0;
}
else
{
long long tmp=val[y];
long long d=min(-val[y],val[u]);
val[y]+=d,val[u]-=d;
if(val[u]!=0) S.insert({u,val[u]});
S.erase(S.find({y,tmp}));
if(val[y]!=0) S.insert({y,val[y]});
}
}
}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=p[i];
ans+=f[n];
while(j<=cnt&&seg[j].x==n)
ans+=seg[j].v,j++;
for(auto [y,v]:S)
ans+=v;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
ふたつの交通機関 / Two Transportations
咕咕咕
指定都市 / Designated Cities
不妨看做是免费的权值尽可能大。
\(E_i=1\) 时可以直接换根 DP。
\(E_i=2\) 时相当于是选两个点，这两个点路径上的边两种权值都免费，以其中一个点为根，剩下的边由儿子连向父亲的权值免费。
这里有一个结论，就是令 \(S_i\) 表示选了 \(i\) 个点作为关键点时最优方案点的集合，则 \(S_i\in S_{i+1}\)。所以可以每次贪心地选择贡献最大的点加入。
具体的，我们将 \(E_i=2\) 时的一个点作为树的根，我们可以用线段树维护每个点的贡献大小，每次选择一个点后需要将它到根的路径上的边的权值的贡献去掉，因为每条边最多被去掉一次，所以可以暴力搞。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200005;
const int INF=1061109567;
int n,Q;
int h[N],a[N],b[N];
struct Segment_Tree
{
struct Node
{
int l,r;
int minc;
int maxc,maxd;
int tagmin,tagmax;
}tree[N<<2];
void push_up(int i)
{
tree[i].minc=min(tree[i*2].minc,tree[i*2+1].minc);
tree[i].maxc=max(tree[i*2].maxc,tree[i*2+1].maxc);
tree[i].maxd=max(tree[i*2].maxd,tree[i*2+1].maxd);
return;
}
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l,tree[i].r=r;
tree[i].tagmin=INF,tree[i].tagmax=-INF;
if(l==r)
{
tree[i].minc=INF;
tree[i].maxc=-INF;
tree[i].maxd=-INF;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
push_up(i);
return;
}
void add(int i,int h)
{
if(tree[i].minc!=INF) tree[i].maxd=max(tree[i].maxd,-tree[i].minc+h);
if(tree[i].maxc!=-INF) tree[i].maxd=max(tree[i].maxd,tree[i].maxc-h);
tree[i].tagmin=min(tree[i].tagmin,h);
tree[i].tagmax=max(tree[i].tagmax,h);
return;
}
void push_down(int i)
{
if(tree[i].tagmin!=INF)
{
add(i*2,tree[i].tagmin);
add(i*2+1,tree[i].tagmin);
tree[i].tagmin=INF;
}
if(tree[i].tagmax!=-INF)
{
add(i*2,tree[i].tagmax);
add(i*2+1,tree[i].tagmax);
tree[i].tagmax=-INF;
}
return;
}
void modify(int i,int l,int r,int h)
{
if(l>r) return;
if(l<=tree[i].l&&tree[i].r<=r) return add(i,h);
push_down(i);
if(l<=tree[i*2].r) modify(i*2,l,r,h);
if(r>=tree[i*2+1].l) modify(i*2+1,l,r,h);
push_up(i);
return;
}
void modify(int i,int u,int c)
{
if(tree[i].l==tree[i].r)
{
if(c==0) tree[i].minc=INF,tree[i].maxc=-INF;
else tree[i].minc=tree[i].maxc=c;
return;
}
push_down(i);
if(u<=tree[i*2].r) modify(i*2,u,c);
else modify(i*2+1,u,c);
push_up(i);
return;
}
int query(int i,int l,int r)
{
if(l<=tree[i].l&&tree[i].r<=r) return tree[i].maxd;
push_down(i);
int res=-INF;
if(l<=tree[i*2].r) res=max(res,query(i*2,l,r));
if(r>=tree[i*2+1].l) res=max(res,query(i*2+1,l,r));
return res;
}
}T;
vector<pair<int,int>>q[N];
vector<pair<int,int>>pos[N];
int ans[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&h[i],&a[i],&b[i]);
scanf("%d",&Q);
for(int i=1;i<=Q;i++)
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
q[r].emplace_back(l,i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i+a[i]<=n) pos[i+a[i]].emplace_back(i,h[i]);
if(i+b[i]+1<=n) pos[i+b[i]+1].emplace_back(i,0);
}
T.build(1,1,n);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
for(auto [i,hi]:pos[j])
T.modify(1,i,hi);
if(j-a[j]>=1) T.modify(1,j-b[j],j-a[j],h[j]);
for(auto [l,i]:q[j])
ans[i]=T.query(1,l,j);
}
for(int i=1;i<=Q;i++)
if(ans[i]<=-INF) printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
ランプ / Lamps
可以发现，一个点不会被两个赋值操作同时覆盖，也就是说一个点最多被覆盖两次。
如果只有翻转操作，令起始序列和目标序列分别为 \(a,b\)，则答案为 \(a\oplus b\) 的极长 \(1\) 段的个数。
所以我们只考虑赋值操作，在加上翻转操作的次数就可以了。令 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示到第 \(i\) 位，\(a_i\oplus b_i=j\)，是否有赋值为 \(0\) 的操作，是否有赋值为 \(1\) 的操作，直接转移即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000005;
const int INF=1061109567;
int n;
char s[N],t[N];
int a[N],b[N];
int f[N][2][2][2];
int main()
{
scanf("%d",&n);
scanf("%s",s+1);
scanf("%s",t+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=s[i]-'0',b[i]=t[i]-'0';
memset(f,63,sizeof(f));
f[0][0][0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=1;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
for(int l=0;l<=1;l++)
if(f[i-1][j][k][l]<INF)
{
int d;
d=b[i]==0;
f[i][d][1][0]=min(f[i][d][1][0],f[i-1][j][k][l]+(d&&j==0)+(k==0));
d=b[i]==1;
f[i][d][0][1]=min(f[i][d][0][1],f[i-1][j][k][l]+(d&&j==0)+(l==0));
d=a[i]!=b[i];
f[i][d][0][0]=min(f[i][d][0][0],f[i-1][j][k][l]+(d&&j==0));
}
int ans=INF;
for(int j=0;j<=1;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
for(int l=0;l<=1;l++)
ans=min(ans,f[n][j][k][l]);
printf("%d",ans);
return 0;
}
時をかけるビ太郎 / Bitaro, who Leaps through Time
不妨令 \(a\lt c\)，\(a\gt c\) 的情况同理。
首先可以令第 \(i\) 条道路的 \(l_i=l_i-(i-1),r_i=r_i-i\)，询问的时候同样减去，问题就变成了第 \(i\) 条道路需要在 \([l_i,r_i]\) 的时刻进入，经过一条道路不需要时间。
可以发现一个性质，如果一段区间内的 \(\max\{l_i\}\gt \min\{r_i\}\)，那么这条路径就是唯一的。
我们可以维护一个四元组 \((op,L,R,w)\) 表示这个四元组代表的区间的最小路径是否唯一，如果唯一则 \(L,R\) 表示从 \(L\) 进入，\(R\) 出来的最小代价为 \(w\)，不唯一则从 \([L,R]\) 进入代价都是 \(w\)。
可以分类讨论合并这个东西，可以发现这是满足结合律的，可以用线段树维护。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<tuple>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=300005;
int n,Q;
int L[N],R[N];
tuple<bool,int,int,long long>merge(const tuple<bool,int,int,long long> &a,const tuple<bool,int,int,long long> &b)
{
auto [ba,la,ra,wa]=a;
auto [bb,lb,rb,wb]=b;
if(ba&&bb) return {true,la,rb,wa+wb+max(ra-lb,0)};
else if(ba)
{
if(lb<=ra&&ra<=rb) return {true,la,ra,wa+wb};
else if(ra<lb) return {true,la,lb,wa+wb};
else return {true,la,rb,wa+wb+ra-rb};
}
else if(bb)
{
if(la<=lb&&lb<=ra) return {true,lb,rb,wa+wb};
else if(ra<lb) return {true,ra,rb,wa+wb};
else return {true,la,rb,wa+wb+la-lb};
}
else
{
int L=max(la,lb),R=min(ra,rb);
if(L<=R) return {false,L,R,wa+wb};
else if(ra<lb) return {true,ra,lb,wa+wb};
else return {true,la,rb,wa+wb+la-rb};
}
}
struct Segment_Tree
{
struct Node
{
int l,r;
tuple<bool,int,int,long long>w;
}tree[N<<2];
void push_up(int i)
{
tree[i].w=merge(tree[i*2].w,tree[i*2+1].w);
return;
}
void build(int i,int l,int r)
{
tree[i].l=l,tree[i].r=r;
if(l==r)
{
tree[i].w={false,L[l],R[l],0};
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(i*2,l,mid);
build(i*2+1,mid+1,r);
push_up(i);
return;
}
void modify(int i,int u,int L,int R)
{
if(tree[i].l==tree[i].r)
{
tree[i].w={false,L,R,0};
return;
}
if(u<=tree[i*2].r) modify(i*2,u,L,R);
else modify(i*2+1,u,L,R);
push_up(i);
return;
}
tuple<bool,int,int,long long>query(int i,int l,int r)
{
if(l<=tree[i].l&&tree[i].r<=r) return tree[i].w;
if(r<=tree[i*2].r) return query(i*2,l,r);
else if(l>=tree[i*2+1].l) return query(i*2+1,l,r);
else return merge(query(i*2,l,r),query(i*2+1,l,r));
}
}T1,T2;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&Q);
if(n==1)
{
while(Q--)
{
int t;
scanf("%d",&t);
if(t==2)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
if(a==c) printf("%d\n",max(b-d,0));
}
}
return 0;
}
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d",&L[i],&R[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
L[i]-=i-1,R[i]-=i;
T1.build(1,1,n-1);
for(int i=1;i<n;i++)
L[i]+=i-1,R[i]+=i;
reverse(L+1,L+n);
reverse(R+1,R+n);
for(int i=1;i<n;i++)
L[i]-=i-1,R[i]-=i;
T2.build(1,1,n-1);
while(Q--)
{
int t;
scanf("%d",&t);
if(t==1)
{
int p,s,e;
scanf("%d%d%d",&p,&s,&e);
s-=p-1,e-=p;
T1.modify(1,p,s,e);
s+=p-1,e+=p;
p=n-p;
s-=p-1,e-=p;
T2.modify(1,p,s,e);
}
else if(t==2)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
if(a==c)
{
printf("%d\n",max(b-d,0));
continue;
}
if(a<c)
{
b-=a-1,d-=c-1;
auto [op,l,r,w]=merge(merge({false,b,b,0},T1.query(1,a,c-1)),{false,d,d,0});
printf("%lld\n",w);
}
if(a>c)
{
a=n-a+1,c=n-c+1;
b-=a-1,d-=c-1;
auto [op,l,r,w]=merge(merge({false,b,b,0},T2.query(1,a,c-1)),{false,d,d,0});
printf("%lld\n",w);
}
}
}
return 0;
}
ケーキの貼り合わせ / Cake 3
可以发现，对于一种选蛋糕的方案，它的最大美观程度为 \(\sum\limits_{j=1}^M V_{k_j}-2\cdot \left(\max\limits_{j=1}^M C_{k_j}-\min\limits_{j=1}^M C_{k_{j+1}}\right)\)。
考虑将蛋糕按照 \(C_i\) 排序，相当于求一个区间使得前 \(m\) 大的 \(V\) 之和减 \(2\cdot (C_r−C_l)\) 的权值之和最大。
可以发现对于 \(l_1\lt l_2\)，在右边加入一个新的点，\(l_1\) 增加的权值肯定小于等于 \(l_2\)。换句话说，如果对于某一个 \(r_1\)，\(l_2\) 比 \(l_1\) 更优时，对于所有 \(r\ge r_0\)，\(l_2\) 都比 \(l_1\) 更优。
直接决策单调性优化，分治+主席树搞搞。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200005;
const long long INF=4557430888798830399;
int n,m;
int b[N],cnt;
struct Chairman_Tree
{
struct Node
{
int ls,rs;
int cnt;
long long sum;
}tree[N*22];
int rt[N],tot;
int new_node()
{
int now=++tot;
tree[now].ls=tree[now].rs=0;
tree[now].cnt=0;
tree[now].sum=0;
return now;
}
void push_up(int i)
{
tree[i].cnt=tree[tree[i].ls].cnt+tree[tree[i].rs].cnt;
tree[i].sum=tree[tree[i].ls].sum+tree[tree[i].rs].sum;
return;
}
void build(int &i,int l,int r)
{
if(!i) i=new_node();
if(l==r) return;
int mid=(l+r)/2;
build(tree[i].ls,l,mid);
build(tree[i].rs,mid+1,r);
return;
}
int modify(int i,int l,int r,int u)
{
int now=new_node();
tree[now]=tree[i];
if(l==r)
{
tree[now].cnt++;
tree[now].sum+=b[u];
return now;
}
int mid=(l+r)/2;
if(u<=mid) tree[now].ls=modify(tree[now].ls,l,mid,u);
else tree[now].rs=modify(tree[now].rs,mid+1,r,u);
push_up(now);
return now;
}
long long query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
if(l==r) return (long long)k*b[l];
int mid=(l+r)/2;
if(k<=tree[tree[v].rs].cnt-tree[tree[u].rs].cnt) return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k);
else return tree[tree[v].rs].sum-tree[tree[u].rs].sum+query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k-(tree[tree[v].rs].cnt-tree[tree[u].rs].cnt));
}
}T;
struct Cake
{
int v,c;
}a[N];
long long ans[N];
void solve(int l,int r,int L,int R)
{
if(l==r)
{
ans[l]=-INF;
for(int i=L;i+m-1<=l&&i<=R;i++)
ans[l]=max(ans[l],T.query(T.rt[i-1],T.rt[l],1,cnt,m)-2LL*(a[l].c-a[i].c));
return;
}
int mid=(l+r)/2;
int k=0;
ans[mid]=-INF;
for(int i=L;i+m-1<=mid&&i<=R;i++)
{
long long v=T.query(T.rt[i-1],T.rt[mid],1,cnt,m)-2LL*(a[mid].c-a[i].c);
if(v>ans[mid]) ans[mid]=v,k=i;
}
if(k==0)
{
for(int i=L;i<=mid;i++)
ans[i]=-INF;
solve(mid+1,r,k,R);
return;
}
solve(l,mid,L,k);
solve(mid+1,r,k,R);
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].c);
sort(a+1,a+n+1,[=](const Cake &x,const Cake &y){return x.c<y.c;});
for(int i=1;i<=n;i++)
b[++cnt]=a[i].v;
sort(b+1,b+cnt+1);
cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i].v=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i].v)-b;
T.build(T.rt[0],1,cnt);
for(int i=1;i<=n;i++)
T.rt[i]=T.modify(T.rt[i-1],1,cnt,a[i].v);
solve(1,n,1,n);
long long res=*max_element(ans+1,ans+n+1);
printf("%lld",res);
return 0;
}
合併 / Mergers
一棵树满足条件当且仅当对于每条边，把这条边断掉形成的两个联通块中有属于同个洲的点。
我们可以先将属于同个洲的点两两路径上的点缩成一个点，树上就没有相同颜色的点了。每次可以把两个点路径上的边变成合法的，答案即为最小路径覆盖，令 \(l\) 表示叶子个数，则答案为 \(\lceil \frac{l}{2}\rceil\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=500005;
int n,k;
struct Edge
{
int to,next;
}edge[N<<2];
int head[N],cnt=1;
void add_edge(int u,int v)
{
cnt++;
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
return;
}
int dfn[N],low[N],Index;
bool book[N<<2];
void tarjan(int u,int pre)
{
dfn[u]=low[u]=++Index;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
if((i^1)==pre) continue;
int v=edge[i].to;
if(!dfn[v])
{
tarjan(v,i);
low[u]=min(low[u],low[v]);
if(dfn[u]<low[v]) book[i]=book[i^1]=true;
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
return;
}
vector<int> e[N];
int fa[N],d[N];
int getf(int v)
{
if(v==fa[v]) return v;
fa[v]=getf(fa[v]);
return fa[v];
}
void merge(int u,int v)
{
int f1=getf(u),f2=getf(v);
if(f1!=f2) fa[f2]=f1;
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add_edge(x,y);
add_edge(y,x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
e[x].push_back(i);
}
for(int i=1;i<=k;i++)
for(int j=0;j<(int)e[i].size();j++)
add_edge(e[i][j],e[i][(j+1)%e[i].size()]),add_edge(e[i][(j+1)%e[i].size()],e[i][j]);
tarjan(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
if(book[i]) continue;
int v=edge[i].to;
merge(u,v);
}
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(getf(u)==getf(v)||u>=v) continue;
d[getf(u)]++,d[getf(v)]++;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(getf(i)==i&&d[i]==1) ans++;
printf("%d",(ans+1)/2);
return 0;
}
鉱物 / Minerals
先将所有点分成两个集合，使得每一对点的两个点分别在不同的集合内。
考虑分治，每次把一个集合的一部分的点塞进去，然后询问另外一个集合中和塞进去的点匹配的点，将这个两个匹配的集合递归下去就好了。
可能需要卡卡常。
#include"minerals.h"
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<functional>
using namespace std;
void Solve(int n)
{
function<bool(int)>Ask=[&](int x)
{
static int lst=0;
int now=Query(x);
bool f=lst!=now;
lst=now;
return f;
};
vector<int>a,b;
for(int i=1;i<=2*n;i++)
if(Ask(i)) a.emplace_back(i);
else b.emplace_back(i);
function<void(const vector<int> &,const vector<int> &,bool)>solve=[&](const vector<int> &l,const vector<int> &r,bool op)
{
if(l.size()==1&&r.size()==1)
{
Answer(l[0],r[0]);
return;
}
else
{
int mid;
if(!op) mid=(int)(r.size()/3);
else mid=(int)(r.size()/3*2);
mid=max(mid,1);
vector<int>rl,rr;
for(int i=0;i<mid;i++)
rl.emplace_back(r[i]);
for(int i=mid;i<(int)r.size();i++)
rr.emplace_back(r[i]);
vector<int>ll,lr;
if(!op)
for(int i=0;i<mid;i++)
Ask(r[i]);
else
for(int i=mid;i<(int)r.size();i++)
Ask(r[i]);
for(int u:l)
{
if(ll.size()==rl.size())
{
lr.emplace_back(u);
continue;
}
if(lr.size()==rr.size())
{
ll.emplace_back(u);
continue;
}
if(Ask(u)) lr.emplace_back(u);
else ll.emplace_back(u);
}
solve(ll,rl,true);
solve(lr,rr,false);
}
return;
};
solve(a,b,1);
return;
}