函数、极限与连续
映射:又称为算子,一个非空集合 X 的元素按某种法则 f 与另一个非空集合 Y 的元素对应。
在映射 f 下,y称为x的像,x称为y的原像。集合X称为定义域Df,定义域的元素的像的集合称为值域Rf。
也就是说,\(R_f \subset Y\)。
映射分为以下三种:
- 单射:一个x对应一个y;
- 满射:Y中任意元素在X中都有对应的像;
- 双射:既是单射也是满射。
?相关知识点?
只有单射才有逆映射。
复合映射 \((g \circ f)(x)\),g的值域必须包含在f的定义域内,也就是说g、f的顺序是有意义的。
函数:y=f(x)。函数关系中的原像称为自变量,像称为因变量。
记号f表示x、y之间的映射法则,f(x)表示x对应的函数值。
子集:A是B的子集,记作\(A \subset B\)或 \(A \supset B\)(A包含于B,B包含A)。
自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R,\(N \subset Z \subset Q \subset R\)
集合的交差并补:
补集的对偶性
\[(A \cup B)^C = A^C \cap B^C \\ (A \cap B)^C = A^C \cup B^C \]
基本初等函数
?幂函数:\(y=x^ \alpha\)(\(\alpha 是常数\))
?指数函数:\(y=a^x\)(\(a > 0 ,a \ne 1\))
?对数函数:\(y=log_ax\)(\(a > 0 ,a \ne 1\))
常用对数等式
\[x = e^{ln x}\\ x^a=e^{alnx} \]
?三角函数:
y=tan x的定义域是\(\{x|x \ne \frac{\pi}{2} + k \pi,k=0,\pm 1,\pm 2 ... \}\),值域是\((- \infty,+ \infty)\),最小正周期是\(\pi\),奇函数。
y=cot x的定义域是\(\{x|x \ne k \pi,k=0,\pm 1,\pm 2 ...\}\),值域是\((- \infty,+ \infty)\),最小正周期是\(\pi\),奇函数。
?反三角函数:
y=arcsinx的定义域是\([-1,1]\),值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),称为反正弦函数。
y=arccosx的定义域是\([-1,1]\),值域是\([0,\pi]\),称为反余弦函数。
y=arctanx的定义域是\((-\infty,\infty)\),值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\),成为反正切函数。
y=arccotx的定义域是\((-\infty,\infty)\),值域是\((0,\pi)\),成为反余切函数。
数列极限
设\(\{x_n\}\)是一数列,如果存在某个常数\(a \in R\),对于任意给定的正数\(\epsilon\),总存在一个正整数N,使得对于\(n > N\)时一切n,不等式\(|x_n - a|<\epsilon\),则称常数a是数列\(\{x_n\}\)的极限,或者称\(\{x_n\}\)收敛于a,记作
如果这样的a不存在,则称数列没有极限或发散。
使用简洁语言表示就是:如果\(\forall \epsilon >0,\exists N \in Z^+,当n>N时,恒有|x_n -a |<\epsilon\),则\(lim_{n \to \infty}{x_n}=a\)。
数列极限运算法则(\(lim_{n\to \infty}{x_n}=a\),\(lim_{n\to \infty}{y_n}=b\)):
- 加减:\(lim_{n\to \infty}{(x_n\pm y_n)}=lim_{n\to \infty}{x_n}\pm lim_{n\to \infty}{y_n}=a\pm b\)
- 乘法:\(lim_{n\to \infty}{x_n}\cdot y_n=lim_{n\to \infty}{x_n}\cdot {y_n}=a \cdot b\)
- 交换:\(lim_{n\to \infty}{\sqrt{x_n}}=\sqrt{lim_{n\to \infty}{x_n}}=\sqrt{a}\)
- 除法:\(lim_{n\to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{lim_{n \to \infty}{x_n}}{lim_{n\to \infty}{y_n}}=\frac{a}{b}\)
函数极限
趋于无穷大的极限:如果\(\forall \epsilon >0,\exists X > 0,当x>X时,恒有|f(x) - A |<\epsilon\),则\(lim_{x \to +\infty}{f(x)}=A\)。
趋于某个点的极限:\(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,当0<|x-x_0|<\delta时,恒有|f(x)-A|<\epsilon,那么lim_{x \to x_0}{f(x)}=A\)。
函数极限的运算与数列极限的运算类似,都有加减乘除、交换,此外还有以下法则;
- \(lim_{x\to x_0}{[\alpha f(x)+ \beta g(x)]}=\alpha lim_{x\to x_0}{f(x)} + \beta lim_{x\to x_0}{g(x)}\)
- \(lim_{x\to x_0}{[f(x)]^n}=[lim_{x\to x_0}{f(x)}]^n\)
复合函数的极限运算法则:
- \(lim_{x\to x_0}{f[g(x)]}=lim_{x\to x_0}{f[u]}=lim_{u\to u_0}{f(u)}=f(u_0)\)
数列极限的性质
- 数列极限的唯一性:如果\(\{x_n\}\)收敛,则极限唯一。
- 数列极限的有界性:如果\(\{x_n\}\)收敛,则\(\{x_n\}\)有界。
- 数列极限的保号性:如果\(\{x_n\}\)收敛于a,则从某项起\(\{x_n\}\)与a同号。
- 推论:如果\(\{x_n\}\)收敛于a,则\(\{x_n\}\)的任意子列也收敛于a。
函数极限的性质
- 函数极限的唯一性:如果\(lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\),\(lim_{x\to x_0}{f(x)}=B\),则A=B。
- 函数极限的局部有界性:如果\(lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\),则存在\(\delta>0\),使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时,\(|f(x)|<M\)。
- 函数极限的局部保号性:如果\(lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\),且A>0,则存在\(\delta>0\),使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时,\(f(x)>0\)。
- 函数极限的局部保号性的反推:如果存在\(\delta>0\),使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时,\(f(x)>0\),则\(lim_{x\to x_0}{f(x)}\geq 0\)。
- 函数极限的局部保号性的大于|A|/2的推论:如果\(lim_{x \to x_0}f(x)=A(A \ne 0)\),则存在\(\delta>0\),使得当\(0<|x-x_0|<\delta\)时,\(|f(x)|>\frac{|A|}{2}\)。
- 函数极限与数列极限的关系:如果\(lim_{x\to x_0}{f(x)}=A\),则对于任意收敛于\(x_0\)的数列\(\{x_n\}\),有\(lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=A\)。
两个重要极限
- \(lim_{x\to 0}{\frac{sinx}{x}}=1\)
- \(lim_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x}=e\)
三角函数的相关公式和二项式定理
- \(sin^2x+cos^2x=1\)
- \(sin(x\pm y)=sinxcosy\pm cosxsiny\)
- \(cos(x\pm y)=cosxcosy\mp sinxsiny\)
- \(sin2x=2sinxcosx\)
- \(cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x\)
- \(sin3x=3sinx-4sin^3x\)
- \(cos3x=4cos^3x-3cosx\)
- \(sinx+siny=2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\)
- \(sinx-siny=2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\)
- \(cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}\)
- \(cosx-cosy=-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}\)
- \(sinxsiny=\frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)]\)
- \(cosxcosy=\frac{1}{2}[cos(x-y)+cos(x+y)]\)
- \(sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]\)
- \(sin^2x=\frac{1}{2}[1-cos2x]\)
- \(cos^2x=\frac{1}{2}[1+cos2x]\)
- 二项式定理:\((a+b)^n=\sum_{k=0}^n{C_n^ka^{n-k}b^k}\)
夹逼准则和单调有界准则
- 夹逼准则:如果\(\forall x \in (a,b),f(x)\leq g(x)\leq h(x)\),且\(lim_{x\to a}{f(x)}=lim_{x\to a}{h(x)}=A\),则\(lim_{x\to a}{g(x)}=A\)。
- 单调有界准则:如果\(\{x_n\}\)单调递增且有上界,则\(\{x_n\}\)收敛;如果\(\{x_n\}\)单调递减且有下界,则\(\{x_n\}\)收敛。
无穷小
定义:如果\(\lim_{x\to x_0}{f(x)}=0\),则称f(x)是当\(x\to x_0\)时的无穷小。
无穷小的运算性质:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
无穷大
定义:如果\(\lim_{x\to x_0}{f(x)}=\infty\),则称f(x)是当\(x\to x_0\)时的无穷大。
无穷小的比较
- 等价无穷小:如果\(\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=1\),则称f(x)与g(x)是当\(x\to x_0\)时的等价无穷小,记为\(f(x)\sim g(x)\)。
- 同阶无穷小:如果\(\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=A(A\ne 0)\),则称f(x)与g(x)是当\(x\to x_0\)时的同阶无穷小,记为\(f(x)=O(g(x))\)。
- 高阶无穷小:如果\(\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0\),则称f(x)是当\(x\to x_0\)时的高阶无穷小,记为\(f(x)=o(g(x))\)。
- 低阶无穷小:如果\(\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\infty\),则称f(x)是当\(x\to x_0\)时的低阶无穷小,记为\(f(x)=\omega(g(x))\)。
- k阶无穷小:如果\(\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)^k}}=A(A\ne 0)\),则称f(x)是当\(x\to x_0\)时的k阶无穷小,记为\(f(x)=O(g(x)^k)\)。
等价无穷小的两个定理
- 为等价无穷小的充分必要条件:如果\(f(x)\sim g(x)\),则\(f(x)=g(x)+o(g(x))\)。
- 如果\(\alpha \sim \alpha '\),\(\beta \sim \beta '\),且\(\lim_{x\to x_0}{\frac{\alpha}{\beta}}=A(A\ne 0)\),则\(\lim_{x\to x_0}{\frac{\alpha '}{\beta '}}=A\)。
函数在一点的连续性
定义:如果\(\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)\),则称f(x)在\(x_0\)处连续。
函数在区间上的连续性
定义:如果\(\forall x \in (a,b),\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)\),则称f(x)在\((a,b)\)上连续。
函数的间断点
- 第一类间断点:如果\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)和\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)存在,但不相等,则称\(x_0\)是f(x)的第一类间断点。
- 第二类间断点:如果\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)和\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)至少有一个不存在,则称\(x_0\)是f(x)的第二类间断点。
可去间断点:如果\(\lim_{x\to x_0}{f(x)}\)存在,但与\(f(x_0)\)不相等,则称\(x_0\)是f(x)的可去间断点。
跳跃间断点:如果\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)和\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)存在,且相等,则称\(x_0\)是f(x)的跳跃间断点。
无穷间断点:如果\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)和\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)至少有一个为无穷,则称\(x_0\)是f(x)的无穷间断点。
振荡间断点:如果\(\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\)和\(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\)不存在,则称\(x_0\)是f(x)的振荡间断点。
其中,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点。
初等函数的连续性
- 连续函数的四则运算的结果仍然是连续函数。
- 反函数的连续性:如果f(x)在\(x_0\)处连续且\(f'(x_0)\ne 0\),则\(f^{-1}(x)\)在\(y_0=f(x_0)\)处连续。
- 复合函数的连续性:如果 g(x) 在某个点 a 处连续,并且 f(x) 在 g(a) 处连续,那么复合函数 h(x) = f(g(x)) 在点 a 处连续。换句话说,如果组成复合函数的内部函数 g(x) 在某个点处连续,而外部函数 f(x) 在该内部函数的值处连续,那么复合函数在该点处连续。
闭区间连续函数的性质
- 有界性:如果f(x)在\([a,b]\)上连续,则f(x)在\([a,b]\)上有界。
- 最值定理:如果f(x)在\([a,b]\)上连续,则f(x)在\([a,b]\)上有最大值和最小值。
- 介值定理:如果f(x)在\([a,b]\)上连续,且\(f(a)\ne f(b)\),则对于\(\forall y \in (f(a),f(b))\),\(\exists x_0 \in (a,b)\),使得\(f(x_0)=y\)。