思路来自 这里。
\(\operatorname{fib}(1)=\operatorname{fib}(2)=1,\operatorname{fib}(n)=\operatorname{fib}(n-1)+\operatorname{fib}(n-2),n\ge 3\)
那么：
\(\sum\limits_{i=1}^n \operatorname{fib}^2(i)=\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\)
可以考虑一下几何意义证明，\(n\) 个正方形拼成一个大矩形。
代数：
\[\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\\
=\operatorname{fib}(n)[\operatorname{fib}(n)+\operatorname{fib}(n-1)]-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\\
=\operatorname{fib}^2(n)
\]
累加即可。
\(\sum\limits_{i=1}^n\operatorname{fib}^2(i)\operatorname{fib}(i+1)=\frac{\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\operatorname{fib}(n+2)}{2}\)
这个也是可以证明的，同样利用立体几何法：
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利用了 \(\operatorname{fib}(n)=2\operatorname{fib}(n-2)+\operatorname{fib}(n-3)\)。
依次在 左，后，下，左，后，下……放长方体即可。
代数：
\[\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\operatorname{fib}(n+2)-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\
=\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)[2\operatorname{fib}(n)+\operatorname{fib}(n-1)]-\operatorname{fib}(n-1)\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\
=2\operatorname{fib}^2(n)\operatorname{fib}(n+1)
\]
累加即可。