机动训练

这题的瓶颈，在于把 \(a_i^2\) 看作 \(\sum\limits_{i=1}^{a_i}\sum\limits_{j=1}^{a_i}1\)，然后我们就可以看成“两两相同的机动路径都能贡献 1”。于是我们设 \(f_{x1,y1,x2,y2}\) 表示两条起点为 \((x1,y1)\) 和 \((x2,y2)\) 的相同路径的数量，然后分别枚举两条路径的方向（左上/左下/右下/右上）即可 DP。

但需要注意的是，平行于坐标轴的方向会被重复计算，所以我们应该容斥一下。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define y1 _19260817
#define y2 _17680321
const int mod=1e9+9;
const int N=35;
int n,m,res,d1,d2,lim;
int dx1[N],dy1[N],dx2[N],dy2[N],f[N][N][N][N];
int dx[8]={1,1,0,-1,-1,-1,0,1},dy[8]={0,1,1,1,0,-1,-1,-1};
char s[N][N];
int dfs(int x1,int y1,int x2,int y2){
    int &now=f[x1][y1][x2][y2];
    if(now!=-1) return now;
    if(s[x1][y1]!=s[x2][y2]) return now=0;
    now=1;
    for(int i=1;i<=lim;i++){
        int X1=x1+dx1[i],Y1=y1+dy1[i],X2=x2+dx2[i],Y2=y2+dy2[i];
        if(X1>=1&&X1<=n&&Y1>=1&&Y1<=m&&X2>=1&&X2<=n&&Y2>=1&&Y2<=m){
			(now+=dfs(X1,Y1,X2,Y2))%=mod;
		}
    }
    return now;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for(int d1=0;d1<8;d1++){
		for(int d2=0;d2<8;d2++){
		    memset(f,-1,sizeof(f));
			lim=0;
		    for(int i=(d1&1?(d1+7)%8:d1);(i+7)%8!=(d1&1?(d1+1)%8:d1);i++,i%=8){
				for(int j=(d2&1?(d2+7)%8:d2);(j+7)%8!=(d2&1?(d2+1)%8:d2);j++,j%=8){
					lim++;
					dx1[lim]=dx[i],dy1[lim]=dy[i];
					dx2[lim]=dx[j],dy2[lim]=dy[j];
				}
			}
		    int lam=((d1&1)^(d2&1))?-1:1;
		    for(int x1=1;x1<=n;x1++){
				for(int y1=1;y1<=m;y1++){
					for(int x2=1;x2<=n;x2++){
						for(int y2=1;y2<=m;y2++){
							(res+=(mod+lam*dfs(x1,y1,x2,y2))%mod)%=mod;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}