经典一个系列四道题，其他三道都是 trash。给定一个有一些位置初始被染色的矩阵，每次可以选择一行将一个公差为奇素数的等差序列位置染色，求最少操作多少次使得整个矩阵被染上色。
首先行和行之间是独立的，所以分别计算。显然一行如果初始都被染色，那么染色 \(0\) 次即可。因为有最小奇素数 \(3\)，所以一行最多被操作三次，下面考虑如何判断是一次还是两次。
注意到两个未被染色的位置如果间隔不是一个 \(2\) 的整次幂，那么这个间隔的距离一定含有至少一个奇素数因子。如果只有一个位置或者所有的位置间隔距离都含有同一个奇素因子，那么只需要染一次。否则我们尝试先染掉一个颜色，再看剩下的位置能否一次染完，这样就需要枚举奇素因子。记一行有 \(k\) 个位置未被染色，注意到只需要枚举 \(p_2 - p_1,p_k - p_1,p_k - p_2\) 的素因子，因为只会有从 \(p_1\) 出发染一趟，再从后面某一个位置出发染一趟这一种情况。于是做到 \(\mathcal O(nm \sigma(m))\)，其中 \(\sigma\) 是素因子个数，不会超过 \(7\) 个，提前线筛处理好即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ld long double
#define ui unsigned int
#define ull unsigned long long
#define int long long
#define eb emplace_back
#define pb pop_back
#define ins insert
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
namespace FastIO
{
template<typename T=int> inline T read()
{
T s=0,w=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
while(isdigit(c)) s=(s*10)+(c^48),c=getchar();
return s*w;
}
template<typename T> inline void read(T &s)
{
s=0; int w=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
while(isdigit(c)) s=(s*10)+(c^48),c=getchar();
s=s*w;
}
template<typename T,typename... Args> inline void read(T &x,Args &...args)
{
read(x),read(args...);
}
template<typename T> inline void write(T x,char ch)
{
if(x<0) x=-x,putchar('-');
static char stk[25]; int top=0;
do {stk[top++]=x%10+'0',x/=10;} while(x);
while(top) putchar(stk[--top]);
if(ch!='~') putchar(ch);
return;
}
}
using namespace FastIO;
namespace MTool
{
#define TA template<typename T,typename... Args>
#define TT template<typename T>
static const int Mod=1e9+7;
TT inline void Swp(T &a,T &b) {T t=a;a=b;b=t;}
TT inline void cmax(T &a,T b) {a=max(a,b);}
TT inline void cmin(T &a,T b) {a=min(a,b);}
TA inline void cmax(T &a,T b,Args... args) {a=max({a,b,args...});}
TA inline void cmin(T &a,T b,Args... args) {a=min({a,b,args...});}
TT inline void Madd(T &a,T b) {a=a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
TT inline void Mdel(T &a,T b) {a=a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
TT inline void Mmul(T &a,T b) {a=a*b%Mod;}
TT inline void Mmod(T &a) {a=(a%Mod+Mod)%Mod;}
TT inline T Cadd(T a,T b) {return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;}
TT inline T Cdel(T a,T b) {return a-b<0?a-b+Mod:a-b;}
TT inline T Cmul(T a,T b) {return a*b%Mod;}
TT inline T Cmod(T a) {return (a%Mod+Mod)%Mod;}
TA inline void Madd(T &a,T b,Args... args) {Madd(a,Cadd(b,args...));}
TA inline void Mdel(T &a,T b,Args... args) {Mdel(a,Cadd(b,args...));}
TA inline void Mmul(T &a,T b,Args... args) {Mmul(a,Cmul(b,args...));}
TA inline T Cadd(T a,T b,Args... args) {return Cadd(Cadd(a,b),args...);}
TA inline T Cdel(T a,T b,Args... args) {return Cdel(Cdel(a,b),args...);}
TA inline T Cmul(T a,T b,Args... args) {return Cmul(Cmul(a,b),args...);}
TT inline T qpow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) Mmul(res,a); Mmul(a,a); b>>=1;} return res;}
TT inline T qmul(T a,T b) {int res=0; while(b) {if(b&1) Madd(res,a); Madd(a,a); b>>=1;} return res;}
TT inline T spow(T a,T b) {int res=1; while(b) {if(b&1) res=qmul(res,a); a=qmul(a,a); b>>=1;} return res;}
TT inline void exgcd(T A,T B,T &X,T &Y) {if(!B) return X=1,Y=0,void(); exgcd(B,A%B,Y,X),Y-=X*(A/B);}
TT inline T Ginv(T x) {T A=0,B=0; exgcd(x,Mod,A,B); return Cmod(A);}
#undef TT
#undef TA
}
using namespace MTool;
inline void file()
{
freopen("1.in","r",stdin);
freopen("1.out","w",stdout);
return;
}
bool Mbe;
namespace LgxTpre
{
static const int MAX=100010;
static const int inf=2147483647;
static const int INF=4557430888798830399;
int n,m,ans;
char s[MAX];
namespace Sieve
{
constexpr int N=100000;
int vis[N+10],P[MAX],Pcnt;
vector<int> fac[MAX];
inline void Init()
{
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i;
for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j) {vis[i*P[j]]=1; if(!i%P[j]) break;}
}
for(int i=2;i<=Pcnt;++i) for(int j=P[i];j<=N;j+=P[i]) fac[j].eb(P[i]);
}
}
using namespace Sieve;
namespace BinaryGCD
{
int gcd(int a,int b)
{
int az=__builtin_ctz(a),bz=__builtin_ctz(b);
int z=min(az,bz),tmp; b>>=bz;
while(a) a>>=az,tmp=a-b,az=__builtin_ctz(tmp),b=min(a,b),a=abs(tmp);
return b<<z;
}
}
inline void lmy_forever()
{
auto solve=[&]()->int
{
auto chk=[&]()->bool
{
vector<int> q;
for(int i=1;i<=m;++i) if(s[i]=='.') q.eb(i);
if(((int)q.size())<=1) return 1;
int g=q[1]-q[0];
for(int i=2;i<((int)q.size());++i) g=BinaryGCD::gcd(g,q[i]-q[i-1]);
return __builtin_popcount(g)==1?0:1;
};
auto change=[&](int f0,int f1)->int
{
bool flag=0;
for(auto f:fac[f1-f0])
{
for(int i=f0;i<=m;i+=f) if(s[i]=='.') s[i]='?';
if(chk()) flag=1;
for(int i=f0;i<=m;i+=f) if(s[i]=='?') s[i]='.';
if(flag) return 2;
}
return 3;
};
vector<int> p;
for(int i=1;i<=m;++i) if(s[i]=='.') p.eb(i);
if(((int)p.size())<=1) return p.size();
if(((int)p.size())==2) return __builtin_popcount(p[1]-p[0])==1?2:1;
if(chk()) return 1;
int dif=3;
cmin(dif,change(p[0],p[1])),cmin(dif,change(p[0],p.back())),cmin(dif,change(p[1],p.back()));
return dif;
};
Init(),read(n,m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s+1),ans+=solve();
write(ans,'\n');
}
}
bool Med;
signed main()
{
// file();
fprintf(stderr,"%.3lf MB\n",abs(&Med-&Mbe)/1048576.0);
int Tbe=clock();
LgxTpre::lmy_forever();
int Ted=clock();
cerr<<1e3*(Ted-Tbe)/CLOCKS_PER_SEC<<" ms\n";
return (0-0);
}