快速求解矩阵特征值
发布时间 2023-06-25 23:18:58作者: kingBook
当求一个矩阵的特征值时一般将特征方程化为以下形成形式.
$\left | \lambda E-A \right | =(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})(\lambda-\lambda_{3})=0$
例：
\(A=\begin{bmatrix}
1& -3 &3 \\
3& -5 &3 \\
6& -6 &4
\end{bmatrix}\)
$|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}
\lambda -1& 3 &-3 \\
-3& \lambda +5 &-3 \\
-6& 6 &\lambda -4
\end{bmatrix}$
要使 $|\lambda E-A|=0$ 只需要任意两行成比例，要使两行成比例，则需要一个特征值 $\lambda$ 使得两行能成比例，使得两行成比例的特征值就是矩阵的其中一个特征值。
假设1，2行：
$\frac{\lambda -1}{-3}= \frac{3}{\lambda+5}=\frac{-3}{-3}$
解得 $\lambda=-2$ 时，1，2行成比例
那么就能确定对1，2行进行初等变换运算，能使特征多项式化简
$|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}
\lambda -1& 3 &-3 \\
-3& \lambda +5 &-3 \\
-6& 6 &\lambda -4
\end{bmatrix}
\xlongequal{1行-2行} \begin{bmatrix}
\lambda +2& -(\lambda +2) &0 \\
-3& \lambda +5 &-3 \\
-6& 6 &\lambda -4
\end{bmatrix}
=|\lambda +2|\begin{bmatrix}
1& -1 &0 \\
-3& \lambda +5 &-3 \\
-6& 6 &\lambda -4
\end{bmatrix}
=|\lambda +2|\begin{bmatrix}
1& -1 &0 \\
0& \lambda +2 &-3 \\
0& 0 &\lambda -4
\end{bmatrix}
=(\lambda +2)^{2}(\lambda -4)$