本篇使用的符号说明，考虑优化问题
\[\min\limits_{K} \frac12\|A*K-B\|_F^2+\gamma\|K\|_F^2,\tag{1}
\]
其中\(A,B\in M_{m,n}\)，通常卷积核我们认为是\(K\in M_{k}\)，为了保证傅里叶变换后维度一致，我们将\(K\)用零元素填充至\(M_{m,n}\)。
由于傅里叶变换是酉变换，因此\((1)\)等价为
\[\min\limits_{K} \frac12\|\mathcal{F}(A*K)-\mathcal{F}(B)\|_F^2+\gamma\|\mathcal{F}(K)\|_F^2,\tag{2}
\]
由于傅里叶变换满足\(\mathcal{F}(A*B)=\mathcal{F}(A)\odot\mathcal{F}(B)\)，同时变换前和变换后一一对应，因此\((2)\)等价为
\[\min\limits_{\mathcal{F}(K)} \frac12\|\mathcal{F}(A)\odot\mathcal{F}(K)-\mathcal{F}(B)\|_F^2+\gamma\|\mathcal{F}(K)\|_F^2.\tag{3}
\]
最后参考hadamard求导，将优化函数对\(\mathcal{F}(K)\)求导可得
\[\overline{\mathcal{F}(A)}\odot(\mathcal{F}(A)\odot\mathcal{F}(K)-\mathcal{F}(B))+2\gamma\mathcal{F}(K)=0 \\
\begin{aligned}
\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(A)\odot\mathcal{F}(K)+2\gamma\mathcal{F}(K) &= \overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(B) \\
(\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(A)+2\gamma)\odot\mathcal{F}(K) &= \overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(B) \\
\mathcal{F}(K)&=(\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(B)) \oslash (\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(A)+2\gamma)\\
K&=\mathcal{F}^{-1}\left[(\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(B)) \oslash (\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(A)+2\gamma)\right] \\
&=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(B)}{\overline{\mathcal{F}(A)}\odot\mathcal{F}(A)+2\gamma}\right].
\end{aligned}
\]