我们知道对于矩阵 \(A\)，它可以通过特征向量的线性组合来进行相似对角化，即 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(D\) 是一个由特征值组成的对角矩阵，\(P = [v_1, v_2]\) 是一个包含线性无关的特征向量的矩阵。
对于矩阵 \(A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\)，我们已经求出了两个线性无关的特征向量：
\[v_1 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 + \sqrt{5}\end{bmatrix}, \quad
v_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.
\]
把这两个向量按列排成矩阵 \(P\)：
\[P = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 + \sqrt{5} & 1 - \sqrt{5}\end{bmatrix}.
\]
矩阵 \(P^{-1}\) 可以通过求 \(P\) 的逆矩阵得到：
\[P^{-1} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \begin{bmatrix}1 - \sqrt{5} & -2 \\ -1 - \sqrt{5} & 2 \end{bmatrix}.
\]
我们有 \(A = PDP^{-1}\)，其中
\[D = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}
\]
是特征值组成的对角矩阵。
我们可以把 \(A^n\) 表示为 \(PD^nP^{-1}\)。由于 \(D\) 是对角矩阵，我们可以直接将 \(D\) 的每个元素取 \(n\) 次幂：
\[D^n = \begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
然后再将 \(D^n\) 代入 \(PD^nP^{-1}\)，得到：
\[A^n = P\begin{bmatrix}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}P^{-1} = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + (1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & -(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + (1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ 2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
下面是完整的 \(A^n\) 的表达式：
\[A^n = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + (1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & -(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + (1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\ 2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n - 2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\end{bmatrix}.
\]
如果你需要求 \(A^n\)，只需要将上述表达式中的 \(n\) 替换成想要求的幂次即可。
那一开始那个地方的\(P = [v_1, v_2]\)这里可否换成\(P = [v_2, v_1]\)呢
实际上，在对矩阵 \(A\) 进行相似对角化的时候，使用的特征向量的顺序并不重要，所以我们可以将 \(P\) 中的两个特征向量 \(v_1\) 和 \(v_2\) 进行交换，即 \(P=[v_2, v_1]\)，然后再重复上述计算步骤，最终得到的对角矩阵 \(D\)、逆矩阵 \(P^{-1}\) 和矩阵 \(A^n\) 都将发生相应的变化。
在本题中，将 \(P\) 中的顺序进行交换后，矩阵 \(P\) 和其逆矩阵 \(P^{-1}\) 的计算结果分别为：
\[P=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1-\sqrt{5} & 1+\sqrt{5}
\end{pmatrix}, \quad
P^{-1}=\frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
1+\sqrt{5} & -2 \\
-\sqrt{5}+1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
接下来，我们按照上述步骤计算 \(A^n\)，得到：
\[A^n=\frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n &
(1-\sqrt{5})\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-(1+\sqrt{5})\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \\
-2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n &
2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}.
\]
因此，我们可以发现通过交换 \(P\) 中的顺序得到的矩阵 \(A^n\) 是不同的。但是，这两个矩阵在数学上是等价的，因为它们都代表了矩阵 \(A\) 的幂次。