数字信号处理第一次记录
1.单位脉冲序列\(\delta (n)\)
\[\delta(n) =
\begin{cases} \tag{1}
1 \quad n = 0\\
0 \quad n \ne0
\end{cases}
\]
2.单位阶跃信号\(u(n)\)
\[u(n) =
\begin{cases} \tag{2}
1 \quad n \geq 0\\
0 \quad n < 0
\end{cases}
\]
线性系统：
\[y_1(n) = T[x_1(n)],y_2(n) = T[x_2(n)]
\]
可加性:
\[T[x_1(n) + x_2(n)] = y_1(n ) + y_2(n)
\]
齐次性：
\[T[ax_1(n)] = ay_1(n)
\]
线性:
\[y(n) = T[ax_1(n) + bx_2(n)] = ay_1(n) + by_2(n)
\]
时不变性:
\[y(n) = T[x(n)]\\
y(n - n_0)=T[x(n - n_0)]
\]
\(tips: y(n)的自变量是n,T[x(n)]的自变量是x(n)\)
卷积
\[\begin{align*}
x(n) &= \sum_{m =-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n - m)\\
&= x(n) * \delta(n)
\end{align*}
\]
单位脉冲响应即系统对于\(\delta(n)\)的零状态响应：
\[h(n) = T[\delta(n)]
\]
\[x(n) = \sum_{m = -\infty}^\infty x(m)\delta(n - m)
\]
\[y(n) = T[\sum_{m = -\infty}^\infty x(m)\delta(n - m)]
\]
\[y(n) = \sum_{m = -\infty}^\infty x(m)T[\delta(n - m)]
\]
\[\begin{align*}
y(n) &= \sum_{m =-\infty}^{\infty}x(m)h(n - m)\\
&= x(n) * h(n)
\end{align*}
\]
线性卷积服从交换律、结合律和分配律:
\[x(n) * h(n) = h(n) * x(n)
\]
\[x(n) * [h_1(n) * h_2(n)] = [x(n) * h_1(n)] * h_2(n)
\]
\[x(n) * [h_1(n) + h_2(n)] = x(n) * h_1(n) + x(n) * h_2(n)
\]
如果序列与一个移位的单位脉冲序列\(\delta(n - n_0)\)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位\(n_0(n_0是整常数)\),如下式表示：
\[y(n) = x(n) * \delta(n - n_0) = \sum_{m = -\infty}^\infty x(m)\delta (n - n_0 - m)
\]
上式中求和项只有当\(m = n - n_0\)时才有非零值，因此得到：
\[x(n) * \delta(n - n_0) = x(n - n_0)
\]
一般因果系统定义:
如果系统\(n\)时刻的输出只取决于\(n\)时刻以前的输入序列，而和\(n\)时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。
线性时不变系统具有因果性的充分必要条件：
\[h(n) = 0 \quad n < 0
\]
一般稳定系统定义:
如果对有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统具有稳定性，或称该系统为稳定系统。
线性时不变系统具有稳定性的充分必要条件：
\[\sum_{n =-\infty}^\infty |h(n)| < \infty
\]