二项分布

基本概念

n次伯努利实验正好出现k次成功的概率为：

\[b(k;n,p) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,...,n \]

其他性质上篇已经讲了，这里说新的。
首先是中心项与最可能成功次数。$b(k;n,p)$最大的项被称之为中心项，对应的k称为最可能成功次数（注意可能有两个k）。记m为最可能成功次数，则有：

\[\lim _{n \rightarrow \infty}b(m;n,p) = (2\pi npq)^{-\frac{1}{2}} \]

应用

常见应用：验收时产品抽样
抽n件产品进行检验，当废品数小于c时，接受该批次产品，否则拒绝。由于抽样的随机性，任何验收方案都可能犯两类错误：一是拒收一批合格品，二是接受一批不合格品。前者为生产者风险，后者为消费者风险。我们力求两个风险都减少。
为了刻画验收方案的性能，一般引进$L(p)$，表示当废品率为p时接受该批次产品的概率。若以p为横坐标，$L(p)$为纵坐标作图，则所得的曲线称为抽样特性曲线，简称OC曲线。问题归结为找n和c，使得：

\[L(p)\geq 1-\alpha,当p\leq p_0 \]

\[L(p)\leq \beta,当p>p_1 \]

$\alpha$ ，$\beta$按需给定。前者衡量生产者风险，越小生产者风险越小；后者衡量消费者风险，越小消费者风险越小。如图更易理解：

泊松分布

泊松分布基本性质

二项分布肉眼可见地难算。n稍微一大，就可能再也无法用计算机算出来精确值。为了解决这个问题，柏松找到了一个近似的公式。泊松分布是离散分布，各样本点概率如下：

\[P_\lambda(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2.... \]

下面说明为什么

\[\lim_{n \rightarrow \infty} b(k;n,p) =\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]

记$\lambda=np$，则

\[b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\lambda/n)^{n-k} \]

然后可处理为：

\[\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \]

我们易得：

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\lambda/n)^{n-k}=e^{-\lambda} \]

以及

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1 \]

从而可得：

\[\lim_{n \rightarrow \infty} b(k;n,p) =\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]

期望与方差

首先是期望。

\[E(X) = \sum^{\infty}_{k=1}\lambda^k/(k-1)!e^{-\lambda} = \lambda\sum^{\infty}_{k=1}\lambda^{k-1}/(k-1)!e^{-\lambda} =\lambda \]

总之不难。
然后是方差。与前面求二项分布的那个类似，易得：

\[Var(X)=\lambda \]

应用

应用中，一般当p小于0.1时可以用泊松分布。现在泊松分布的应用越来越广，且已经离原来引用的初衷越来越远。
生活中许多随机现象是服从泊松分布的。比如社会生活，比如物理学中。对泊松分布进行深入研究后，还发现其具有很多特殊性质，其似乎是是许多随机现象的基础。

泊松过程

引理

柯西定理
若$f(x)$连续或单调，且对任意$x$,$y$都有

\[f(x)f(y) = f(x+y) \]

则

\[f(x) = a^x \]

柏松过程

定义：一个计数过程 $\left\{ {N(t),t \geqslant 0} \right\}$是泊松过程，则其具有参数 $\lambda$， $\lambda >0$，且满足以下条件：
（i）$N(0)=0$；
（ii）过程具有独立增量，即在不相交的时间区间内，事件发生的个数是相互独立的；
（iii）在任一长度为 t的时间区间内，事件发生的个数服从均值为 $ \lambda t$的泊松分布，即对任意 $s , t ⩾ 0$有

\[P \{ N ( t + s ) − N ( s ) = n \} = e ^{− λ t}\frac{{\lambda t}^n}{n!} , n = 0 , 1 , … \]

典型应用：
记电话呼叫数。