若总体属于离散型，其分布律在参数 \(\theta\) 作用下 \(P\{X=x\}=p(x;\theta),\Theta=\{\theta\}\) 的形式已知，设 \(X_1,X_2,\dots,x_n\) 是 \(X\) 的样本，则其联合分布律为：
设 \(x_1,x_2\dots,x_n\) 为一组已知的（实验得出的）样本值，则事件 \(\{\forall i\in[1,n],X_i=x_i\}\) 发生概率为：
这称为似然函数。
我们定义最大似然函数：
这样的与样本值有关的 \(\hat{\theta}(x_1,x_2,\dots,x_n)\) 称为最大似然估计值，而统计量 \(\hat{\theta}(X_1,X_2,\dots,X_n)\) 称为最大似然估计量。
我们一般希望知道 \(\hat{\theta}\)。
很多情形下，\(p(x,\theta)\) 关于 \(\theta\) 可微。我们可以通过解
得到它。由于 \([\ln L(\theta)]'=\dfrac{L'(\theta)}{L(\theta)}\)，我们可以通过解
得到相同解，而后面的方程通常是容易的。
例题：
8s,1024MB。
解：我们考虑把初始集合分配随机权值，然后集合表示为数，集合异或可以表示为数异或。
然后我们可以判断 \(0\) 得到 \(30\) 分。
我们考虑随机化。考虑我们多次随机把一些数置 \(0\)，设置 \(0\) 比例为 \(c_i\)。
再进行多次实验，设得到空集 \(a_i\) 次，非空集 \(b_i\) 次。
可以得出，在参数 \(\theta=|T|\) 的情况下，其概率分布 \(p(A_i=a_i,B_i=b_i;\theta)\) 为：
有结论：
若 \(f\) 为 \(I\) 上的凸函数,\(g\) 在 \(J(f(x)\subset J)\) 上递增，且凸性相同。
可以证明： \(g(f)\) 在 \(I\) 上有相同的凸性。
而若干个凸函数的和是凸函数。所以 \(\ln(1-c_i^{\theta})\) 为凸函数。
于是你可以三分得到最大似然估计值。