2023-09-21

题目

难度&重要性(1~10):8.5

题目来源

luogu

题目算法

状压 dp，数学

解题思路

这道题我们首先要考虑如何去优化曼哈顿距离。~~（不然它怎么不玩欧式距离）~~
首先这是一个普通的曼哈顿距离：\(\sum\limits_{i=1}^d|A_i-B_i|\)
敲重点了，我们可以将 \(|A_i-B_i|\) 化为 \(\max\{A_i-B_i,B_i-A_i\}\)
即 \(\sum\limits_{i=1}^d\max\{A_i-B_i,B_i-A_i\}\)
这样做有什么好处呢？
因为 \(\max\) 是满足分配律的：
\(\max\{a,b\}+\max\{c,d\}=\max\{a+b,a+c,b+c,b+d\}\)
这样曼哈顿距离就表示为：\(\max\limits_{k\in\{1,-1\}}\{\sum\limits_{i=1}^dk\times A_i-\sum\limits_{i=1}^dk\times B_i\}\)
这样我们就只需要得到 \(\max\limits_{i=1,k\in\{1,-1\}}^n\{\sum\limits_{j=1}^dk\times a_{i,j}\}\) 和 \(\min\limits_{i=1,k\in\{1,-1\}}^n\{\sum\limits_{j=1}^dk\times a_{i,j}\}\)。
只需要一减就是答案了。