这个已经是典中典题了。
首先考虑一个段合法等价于 \(mx - mn = r-l\)，也就是 \(mx-mn-r+l = 0\)，而且注意到 \(mx-mn-r+l\ge 0\)，所以如果我们全局询问的话，那就是扫描线维护，然后维护一下全局的最小值以及最小值个数就行了。
然后区间的子区间计数就考虑套维护历史信息的 trick，也就是我们还是维护扫描线的过程。操作是区间加。
然后询问的东西实质上有点牛魔的：相当于给出一个区间 \([l,r]\)，首先要求这些位置的历史最小值的 \(\min\)，设为 \(x\)，还要求出每个位置历史值 \(=x\) 的次数和。
这个东西手搓了一下竟然自己手搓出来了：考虑对每个位置维护一个三元组 \((min,cnt,sum)\)，表示该位置的历史最小值，以及历史最小值个数，还有当前的值，那么原序列上的加法（对应这个三元组的乘法）是容易的：\(+a\) 等价于乘上 \((a,1,a)\)；但是我们用线段树合并的话，首先就需要定义加法，然后还需要满足分配律。
加法的话比较牛魔，先不考虑分配律，那就是 \(\min\) 是两个人的 \(\min\) 取最小值；然后 \(cnt\) 跟着算，然后 \(\sum\) 也得取 \(\min\)。但是发现他好像不满足分配律：两个一样的三元组，合并起来的话以后都是要当两份算的，但是没有体现出来。所以还要记录一下有多少个位置他的 \(sum = \min sum\)，这个四元组的加法乘法满足分配律，然后就可以 seg 打 lazy 维护了。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。