内容
对于两个列向量 \(u,v\) 和可逆方阵 \(A\) 有 \(\det (A+uv^T)=\det(A)(1+v^TA^{-1}u)\) 。
引理
内容
\[\det(I+uv^T)=(1+v^Tu)
\]
证明：
暴力计算可以发现有如下等式：
\[\begin{pmatrix}
I & 0\\
v^T & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I+uv^T & u\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I & 0\\
-v^T & 1\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I & u\\
0 & 1+v^Tu
\end{pmatrix}
\]
两边求行列式，根据行列式的可乘性可以得到 \(\det(I+uv^T)=(1+v^Tu)\) 。
那么就是说：
\[\det(A+uv^T)=\det(A)\det(I+(A^{-1}u)v^T)=\det(A)(1+v^T(A^{-1}u))
\]
得证。
推广
对于可逆 \(n\times n\) 方阵 \(A\) 和两个 \(n\times m\) 的矩阵 \(U,V\) ，有 \(\det(A+UV^T)=\det(I_{m}+V^TA^{-1}U)\det(A)\) ，证明未知。
以及在如上形式中多配一个 \(m\times m\) 的矩阵 \(W\) ，有 \(\det(A+UWV^T)=\det(A)\det(W)\det(W^{-1}+V^TA^{-1}U)\) ，证明直接在上面的基础上多用一次可乘性即可。