定义

符号定义

• 自变量：\(x\)
• 因变量：\(u,v,y\)
• 法则：\(f,g,h,F,G,H\)
• 导数：\(f'\)
• 微分：\(df,dy\)
• 偏导：\(f_x\)
• 偏微分：\(\partial f\)

优先级定义

• \(**>*=/>+=->(>>)=(<<)\)
• \(*>\log>+\)

变量计算法则：（问号表示无法计算）

• 加法：
  • \(0+0=0,\infty+\infty=\infty,C+C=2C\)
  • \(0+\infty=\infty,0+0=0\)
  • \(0+C=C+0=C\)
  • \(\infty+C=C+\infty=\infty\)
• 减法：
  • \(0-0=0,C-C=0,\infty-\infty=?\)
  • \(0-\infty=\infty-0=\infty\)
  • \(C-0=C,0-C=-C\)
  • \(C-\infty=\infty-C=\infty\)
• 乘法：
  • \(0*0=0,\infty*\infty=\infty,C*C=C^2\)
  • \(0*\infty=\infty*0=?\)
  • \(0*C=C*0=0\)
  • \(\infty*C=C*\infty=\infty\)
• 除法：
  • \(\frac 00=\frac \infty\infty=?,\frac CC=1\)
  • \(\frac 0\infty=0,\frac\infty 0=\infty\)
  • \(\frac C\infty=0,\frac \infty C=\infty\)
  • \(\frac C0=\infty,\frac 0C=0\)

法则运算法则

• \((f \pm g)|_x=(f \pm g)(x)=f(x)+g(x)\)
• \((f * g)|_x=(f*g)(x)=f(x)*g(x)\)
• \(\frac fg|_x=(\frac fg)(x)={f(x) \over g(x)}\)
• \((f \circ g)|_x=(f \circ g)(x)=f(g(x))\)

三角函数基础公式（归一化）

• \(\cot x=\frac 1{\tan x},\sec x=\frac 1{\cos x},\csc x=\frac 1{\sin x}\)
• \({\rm acot}x={\rm atan}\frac 1x,{\rm asec}x={\rm acos}\frac 1x,{\rm acsc}x={\rm asin}\frac 1x\)

三角函数嵌套转化

• \(\sin{\rm asin}x=x\)

• \(\cos{\rm asin}x=\sqrt{1-x^2}\)

• \(\tan{\rm asin}x=\frac x{\sqrt{1-x^2}}\)

• \(\sin{\rm acos}x=\sqrt{1-x^2}\)

• \(\cos{\rm acos}x=x\)

• \(\tan{\rm acos}x=\frac{\sqrt{1-x^2}}x\)

• \(\sin{\rm atan}x=\frac x{\sqrt{1+x^2}}\)

• \(\cos{\rm atan}x=\frac 1{\sqrt{1+x^2}}\)

• \(\tan{\rm atan}x=x\)

其他约定

• 0是有限的

应用

极限计算

• 基础计算法则（要求：分裂后各部分极限存在或分裂后合并时得到的答案可合并）
  • \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) \pm g(x))=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \pm \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)\)
  • \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)\)
  • \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}={\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \over \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)}\)
  • 极限存在准则：（用于将变量常量化）
    • 夹逼定理：\(u(x) \leq f(x) \leq v(x) \lim\limits_{x \rightarrow x_0} u(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} v(x)=C \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)=C\)
    • 极限存在准则 II:
      • \(f(x)\) 单调递增且存在上界 \(M \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \leq M\)
      • \(f(x)\) 单调递减且存在下界 \(m \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \geq m\)
      • \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上单调有界 \(\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x \rightarrow b^-}f(x)\) 存在
  • 重要极限：
    • \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1\)
    • \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}(1+x)^\frac 1x=e\)
• 导数代换
  • 格式：\(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{f(x,y)}x\)
  • 方法：将 \(f(x,y)\) 转化为 \(g(y+x)-g(y)\) 的形式，将目标式转化为 \(g'(y)\)
• 等价无穷小
  • 条件：已知 \(f(x) \sim g(x),(x \rightarrow x_0)\)
  • 公式：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)\)
  • 常用等价无穷小：\((x \rightarrow 0)\)（仅一元函数可用）
    • \(x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1\)
    • \((1+x)^\frac 1n \sim 1+\frac 1nx\)
    • \(1-\cos x \sim \frac{x^2}2\)
  • 多元函数使用应注意问题：
    • 必须换元
    • 换元时不能外扩（\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac xyf(xy) \neq \lim\limits_{xy \rightarrow 0} \frac xyf(xy)\)）
• 函数展开
  • 条件：
    • 在点展开：\(f(x)\) 在 \(x_0\) 点存在直到 \(n\) 阶导数
    • 在区间展开：\(\forall x \in I,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0\) （本质上就是 \(I\) 在对应幂函数的收敛域内）
      • 收敛域计算：\(R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {a_n \over a_{n+1}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {f^{(n)}(0)(n+1) \over f^{(n+1)}(0)}\)，边界特判
    • 循环展开：函数满足狄利克雷条件
      1. 在区间内（一个周期内）只有有限个第一类间断点
      2. 在区间内（一个周期内）至多有有限个极值点
  • 公式：
    • 在点展开：泰勒展开/麦克劳林展开
      • 泰勒展开：\(T_{n,x_0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i\)
      • 麦克劳林展开：\(M_n(x)=T_{n,0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}\)
      • 余项：\(R_{n,x_0}(x)=f(x)-T_{n,x_0}(x)\)
        • 佩亚诺型余项：
          • 泰勒展开：\(R_{n,x_0}(x)=\omicron ((x-x_0)^n)\)
          • 麦克劳林展开：\(R_n(x)=\omicron (x^n)\)
        • 拉格朗日余项：（\(\xi\) 在 \(x\) 与 \(x_0\) 之间）
          • 泰勒展开：\(R_{n,x_0}(x)={f^{(n+1)}(\xi+x_0) \over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)
          • 麦克劳林展开：\(R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}x^{n+1}\)
      • 无穷展开：
        • 泰勒：\(T_{x_0}(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i\)
        • 麦克劳林展开：\(M(x)=T_0(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0) \over i!}x^i\)
    • 在区间展开：麦克劳林展开（边界注意特殊讨论）
      • 直接展开：\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}, x \in (-R,R)\)
      • 间接展开（换元/求导/积分成已知函数展开）：
        • \(e^x=\sum\limits_{i=0}^\infty{x^i \over i!},x \in {\mathbb R}\)
        • \((1+x)^\alpha=\sum\limits_{i=0}^\infty {\alpha^{\underline i} \over i!}x^i,x \in {\mathbb (-1,1)}\)
          • \(\frac1{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i,x \in (-1,1)\)
        • \(\ln(1+x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over i+1}x^{i+1},x \in (-1,1]\)
        • \(\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i+1} \over (4i+1)!}-{x^{4i+3} \over (4i+3)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over (2i+1)!}x^{2i+1},x \in {\mathbb R}\)
        • \(\cos x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i} \over (4i)!}-{x^{4i+2} \over (4i+2)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty{(-1)^i \over (2i)!}x^{2i},x \in {\mathbb R}\)
    • 循环展开：傅里叶级数展开 \(f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^n (a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx),(x \neq (2k+1)l,k \in \mathbb Z)\)（边界注意特殊讨论）
      • 参数计算：
        • \(a_0=\frac 1l\int_{-l}^l f(x){\rm d}x\)
        • \(a_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi}lx{\rm d}x\)
        • \(b_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi}lx{\rm d}x\)
      • 特殊展开：
        • 沿对称轴对称后展开（偶函数展开）：余弦级数展开 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_n\sin\frac{n\pi}lx,(x \neq kl,k \in \mathbb Z)\)
        • 沿原点对称后展开（奇函数展开）：正弦级数展开 \(f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^n a_n\cos\frac{n\pi}lx,(x \neq kl,k \in \mathbb Z)\)
• 洛必达法则
  • 条件：
    • \(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=0\)（即 \(\frac 00\) 的情况）
    • \(f(x),g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导/可微
  • 公式：
    • 导数形式：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x) \over g'(x)}\)
    • 微分形式：\(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{{\rm d}f \over {\rm d}g}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{{{\rm d}f \over {\rm d}x} \over {{\rm d}g \over {\rm d}x}}\)
  • 其他无法计算情况的转化：
    • \(0*\infty=\infty*0=\frac 0{\frac 1\infty}=\frac 00\)
    • \(\frac\infty\infty=\frac{\frac 1\infty}{\frac 1\infty}=\frac 00\)

偏微分计算

• 可偏微分判定：在对应截面上的函数曲线连续
• 定义：\(f_{x_k}(\vec x)=\lim\limits_{\Delta x_k \rightarrow 0}{f(\vec x+([k=i]\Delta x_i)_n)-f(\vec x)\over \Delta x_i}\)
• 本质：把 \(x_k\) 当成自变量，其他量为参数的一元函数求导

微分计算

• 可微判定：
  • 一元函数：\(f(x)\) 连续
  • 多元函数：\(f(\vec x)\) 连续且存在各维一阶连续偏导数
• 定义：
  • 一元函数：\({\rm d}y=f'(x){\rm d}x\)
  • 多元函数：\({\rm d}y=\sum\limits_{i=1}^n {\partial y \over \partial x_i}{\rm d}x_i\)
• 微分表
  • 一阶微分表：
    • \((C)'=0\)
    • \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\)
    • \((a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]\)
    • \((\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]\)
    • \((\sin x)'=\cos x\)
    • \((\cos x)'=-\sin x\)
    • \((\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}\)
    • \((\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}\)
    • \((\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}\)
    • \((\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}\)
    • \(({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(({\rm sinh}\ x)'={\rm cosh}\ x\)
    • \(({\rm cosh}\ x)'={\rm sinh}\ x\)
    • \(({\rm tanh}\ x)'=\frac1{{\rm cosh}^2x}={\rm sech}^2x\)
    • \(({\rm coth}\ x)'=-\frac1{{\rm sinh}^2x}=-{\rm csch}^2x\)
    • \(({\rm sech}\ x)'=-{\rm sech}\ x\ {\rm tanh}\ x=-{{\rm sinh}\ x \over {\rm cosh}^2x}\)
    • \(({\rm csch}\ x)'=-{\rm csch}\ x\ {\rm coth}\ x=-{{\rm cosh}\ x \over {\rm sinh}^2x}\)
    • \(({\rm asinh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm acosh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm atanh}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\)
    • \(({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}\)
  • 高阶微分表：
    • \((x^n)^{(n)}=n!\)
    • \((a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x\)
    • \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)\)
    • \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)\)
  • 微分关系表：
    • \(({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0\)
    • \(({\rm atanh}\ x)'=({\rm acoth}\ x)'\)
• 运算法则
  • \({\rm d}(u \pm v)={\rm d}u \pm {\rm d}v\)
    • \({\rm d}(Cu)=C{\rm d}u\)
    • \({{\rm d}(u \pm v) \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}x} \pm {{\rm d}v \over {\rm d}x}\)
  • \({\rm d}(uv)=u{\rm d}v+v{\rm d}u\)
    • \({{\rm d}(uv) \over {\rm d}x}=u{{\rm d}v \over {\rm d}x}+v{{\rm d}u \over {\rm d}x}\)
  • \({{\rm d}u \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}v}{{\rm d}v \over {\rm d}x}\)
  • 高阶微分：
    • \({\rm d}^n(u \pm v)={\rm d}^nu \pm {\rm d}^nv\)
      • \({\rm d}^n(Cu)=C{\rm d}^nu\)
      • \({{\rm d}^n(u \pm v) \over {\rm d}x^n}={{\rm d}^nu \over {\rm d}x^n} \pm {{\rm d}^nv \over {\rm d}x^n}\)
    • \({\rm d}^n(uv)=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {\rm d}^{n-i}u {\rm d}^iv\)
      • \({{\rm d}^n(uv) \over {\rm d}x^n}=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {{\rm d}^{n-i}u \over {\rm d}x^{n-i}} {{\rm d}^iv \over {\rm d}x^i}\)

导数/梯度计算

• 可导判定：

• 一元函数：
• 多元函数：
  • 偏导数：
  • 方向导数：
  • 梯度（全导数）：
• 导数表
  • 一阶导数表：
    • \((C)'=0\)
    • \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\)
    • \((a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]\)
    • \((\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]\)
    • \((\sin x)'=\cos x\)
    • \((\cos x)'=-\sin x\)
    • \((\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}\)
    • \((\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}\)
    • \((\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}\)
    • \((\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}\)
    • \(({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(({\rm sinh}\ x)'={\rm cosh}\ x\)
    • \(({\rm cosh}\ x)'={\rm sinh}\ x\)
    • \(({\rm tanh}\ x)'=\frac1{{\rm cosh}^2x}={\rm sech}^2x\)
    • \(({\rm coth}\ x)'=-\frac1{{\rm sinh}^2x}=-{\rm csch}^2x\)
    • \(({\rm sech}\ x)'=-{\rm sech}\ x\ {\rm tanh}\ x=-{{\rm sinh}\ x \over {\rm cosh}^2x}\)
    • \(({\rm csch}\ x)'=-{\rm csch}\ x\ {\rm coth}\ x=-{{\rm cosh}\ x \over {\rm sinh}^2x}\)
    • \(({\rm asinh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm acosh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}\)
    • \(({\rm atanh}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}\)
    • \(({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}\)
    • \(({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}\)
  • 高阶导数表：
    • \((x^n)^{(n)}=n!\)
    • \((a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x\)
    • \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)\)
    • \((\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)\)
  • 导数关系表：
    • \(({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0\)
    • \(({\rm atanh}\ x)'=({\rm acoth}\ x)'\)
• 运算法则
  • \([f(x) \pm g(x)]'=f'(x) \pm g'(x)\)
  • \([f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\)
    • \([Cf(x)]'=Cf'(x)\)
    • \([{f(x) \over g(x)}]'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\over g^2(x)}\)
      • \([\frac 1{g(x)}]'=-{g'(x) \over g^2(x)}\)
  • \((f^{-1})'(x)=\frac 1{(f' \circ f^{-1})(x)}\)
  • \((f \circ g)'(x)=(f' \circ g)(x)g'(x)\)
  • 高阶导数：
    • \([f(x) \pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)\)
      • \([Cf(x)]^{(n)}=Cf^{(n)}(x)\)
    • \([f(x)g(x)]^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^n \binom ni f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)\)
  • 反函数求导法则：\((f^{-1})'(y)=\frac 1{f'(x)}\)
  • 隐函数求导法则：
    • 一个因变量：\(f'(x_i)={F_{x_i}(\vec x,y) \over F_y(\vec x,y)}\)
    • 多个因变量：
    \[\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {\partial u \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (x,v)} \\ {\partial v \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,x)} \\ {\partial u \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (y,v)} \\ {\partial v \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,y)} \end{cases}\left(J={\partial(F,G) \over \partial(u,v)}=\left|\begin{matrix}F_u & F_v\\G_u & G_v\end{matrix}\right|\right) \]

  • 与微分的关系：
    • 一元函数：导数是微分的商
    • 多元函数：微分是各维偏导数和对应维度微分乘积的和

积分计算

• 基础定义：
  • 不定积分：\(\int f(x){\rm d}x=F(x)\)
  • 定积分：\(\int_a^b f(x){\rm d}x=\lim\limits_{x \rightarrow b^-}F(x)-\lim\limits_{x \rightarrow a^+}F(x)\)
  • 二重积分：\(\int{\rm d}x\int f(x,y){\rm d}y\)
  • 三重积分
  • 曲线积分：\(\int_l f(x,y,z){\rm d}l\)
  • 曲面积分
• 不定积分表
  1. 逆微分表
  • \(\int k{\rm d}x=kx+C\)
  • \(\int x^{\alpha }{\rm d}x=\frac1{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C\)
  • \(\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C\)
  • \(\int \frac1x {\rm d}x=ln|x|+C\)
  • \(\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C\)
  • \(\int \sin x {\rm d}x=-\cos x+C\)
  • \(\int \sec^2x {\rm d}x=\int \cos^{-2}x {\rm d}x=\tan x+C\)
  • \(\int \csc^2x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x {\rm d}x=-\cot x+C\)
  • \(\int \sec x\tan x {\rm d}x=\int \sin x\cos^{-2}x {\rm d}x=\cos^{-1}x+C=\sec x+C\)
  • \(\int \csc x\cot x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x \cos x {\rm d}x=-\sin^{-1}x+C=-\csc x+C\)
  • \(\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm asin}\ x+C\)
  • \(\int \frac1{1+x^2}{\rm d}x={\rm atan}\ x+C\)
  2. 常用函数积分表
  • \(\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C\)
  • \(\int \ln x {\rm d}x=x(\ln x-1)\)
  • \(\int x^{\alpha}=\frac1{\alpha +1}c^{\alpha +1}+C\)
  • \(\int \sin x {\rm d}x=-\cos x +C\)
  • \(\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C\)
  • \(\int \tan x {\rm d}x=-\int \cos^{-1}x\ {\rm d}(\cos x)=-\ln |\cos x|+C=\frac12 \ln (\tan^2 x+1)+C\)
  • \(\int \cot x {\rm d}x=\int \sin^{-1}x\ {\rm d}(\sin x)=\ln |\sin x|+C=-\frac12\ln (\cot^2 x+1)+C\)
  • \(\int \sec x {\rm d}x=\int \frac1{\cos x} {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\)
  • \(\int \csc x {\rm d}x=\int \frac1{\sin x} {\rm d}x=\int \frac1{\sin\frac x2\cos\frac x2} {\rm d}(\frac x2)\)
  3. 三角函数积分表
  • \(\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x +C\)
  • \(\int \sin^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x-\sin x\cos x)+C\)(来自\(\sin^2 x=\frac12(1-\cos(2x))\))
  • \(\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x+C\)
  • \(\int \cos^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x+\sin x\cos x)+C\)(来自\(\cos^2 x=\frac12(1+\cos(2x))\))
  • \(\int \tan x\ {\rm d}x=\frac12\ln(\tan^2x+1)+C\)
  • \(\int \tan^2 x\ {\rm d}x=\int (\cos^{-2}x-1){\rm d}x=\tan x-x+C\)
  • \(\int \cot x\ {\rm d}x=-\frac12\ln(\cot^2x+1)+C\)
  • \(\int \cot^2 x\ {\rm d}x=\int (\sin^{-2} x-1){\rm d}x=\cot x-x+C\)
  • \(\int \sec x {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\)
  • \(\int \csc x {\rm d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C\)
  4. 反三角函数积分表
  • \(\int {\rm asin}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\sin t)=t\sin t-\int \sin t\ {\rm d}t=t\sin t+\cos t+C=xasin\ x+\sqrt{1-x^2}+C\)
  • \(\int {\rm acos}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\cos t)=t\cos t-\int \cos t\ {\rm d}t=t\cos t-\sin t+C=xacos\ x-\sqrt{1-x^2}+C\)
  • \(\int {\rm atan}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\tan t)=t\tan t-\int \tan t\ {\rm d}t=t\tan t-\frac12\ln(1+\tan^2t)+C=xatan\ x-\frac12\ln(1+x^2)+C\)
  • \(\int acot\ x\)
  5. 常用积分法
  • \(\int (kx+b)e^x=(kx+b-k)e^x+C\)
  • \(\int f(ax)\ {\rm d}x=\frac1a\int f(x) {\rm d}x\)
• 运算法则
  • 不定积分
    • 性质
    • 第一换元积分法： \(\int (f \circ g)(x)g'(x){\rm d}x=\int (f \circ g)(x) {\rm d}g(x)=\int f(u){\rm d}u=F(u)+C=(F \circ g)(x)+C\)
    • 第二换元积分法： \(f(x)\) 连续，\(x=x(t)\) 连续可微，\(x=x(t)\) 存在反函数 \(t=t(x)\) ：\(\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C \Rightarrow \int f(x){\rm d}x=\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C=(F \circ t)(x)+C\)
    • 分部积分法：
      • 导数形式：\(u(x)\) 可导，\(v(x)\) 可积：\(u'(x)\int v(x)\) 存在原函数 \(\Rightarrow\) \(u(x)v(x)\) 存在原函数，\(\int u(x)v(x){\rm d}x=u(x)\int v(x)\ {\rm d}x-\int u'(x)\int v(x){\rm d}x\ {\rm d}x\)
      • 微分形式：\({{\rm d}u \over {\rm d}x},{{\rm d}v \over {\rm d}x}\)存在，\(v(x){{\rm d}(u(x)) \over {\rm d}x}\) 存在原函数 \(\Rightarrow\) \(u(x){{\rm d}(v(x))\over {\rm d}x}\) 存在原函数，\(\int u(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)-\int v(x){\rm d}(u(x))\)
        (一边求导降次，一边积分不升次=>可用分部积分)
        (反对幂指三)(前面的优先设为u(x))
    • 有理函数积分：
      • 定义：\(R(x)={P(x) \over Q(x)}\)
      • 前置结论：
        1. 任何一个实多项式都可以拆成若干个一次因式和 \(\delta<0\) 的二次因式的积
        2. 任何一个有理函数都可以拆成有限个 \(F_a(x)={A_1 \over x-a},F_{a,m}(x)={A_m \over (x-a)^m},F_{p,q}(x)={B_1x+C_1 \over x^2+px+q}\) 和 \(F_{p,q,m}(x)={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\ (p^2-4q<0)\) 的和
      • 计算：
        \[\begin{array}{l} \begin{align} \int R(x){\rm d}x&=\int {P(x) \over Q(x)}{\rm d}x \hspace{100cm}\\ &=\sum\limits_a\int F_a(x){\rm d}x+\sum\limits_a\sum\limits_m\int F_{a,m}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\int F_{p,q}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\sum\limits_m\int F_{p,q,m}(x){\rm d}x\\ \ \\ \int F_a(x){\rm d}x&=\int {A_1 \over x-a}=A_1\int (x-a)^{-1}{\rm d}x=A_1\ln|x-a|+C\\ \ \\ \int F_{a,m}(x){\rm d}x&=\int {A_m \over(x-a)^m}=A_m\int (x-a)^{-m}{\rm d}x={A_m \over 1-m}(x-a)^{1-m}+C\\ \ \\ \int F_{p,q}(x){\rm d}x&=\int {B_1x+C_1 \over x^2+px+q}{\rm d}x\\ &=\int {B_1x+C_1 \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}x(h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=\int {B_1(x-h)+(C_1+B_1h) \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}(x+h)\\ &=B_1\int t(t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t+(C_1+B_1h)\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t(t=x-h)\\ &=\frac{B_1}2\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}k\int((\frac tk)^2+1)^{-1}{\rm d}(\frac tk)\\ &=\frac{B_1}2\ln(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C\\ &=\frac{B_1}2\ln(x^2+px+q)+{2C_1-B_1p \over \sqrt{4q-p^2}}atan{2x-p \over \sqrt{4q-p^2}}+C\\ \int F_{p,q,m}(x){\rm d}x&={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\\ &=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)+(C_m+B_mh)\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t(t=x-h,h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=G_{m,k}(t)+H_{m,k}(t)\\ \ \\ G_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)={B_m \over 2(1-m)}(t^2+k^2)^{1-m}+C\\ \ \\ H_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t=\frac x{2(m-1)(t^2+k^2)^{m-1}}+k^{-2}(1-\frac 1{2(m-1)})H_{m-1,k}(t)(H_{1,k}(x)=\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C) \end{align} \]
        \[\]
        • 换元->分部->降次+通式->通式
    • 三角有理函数积分：\(t=\tan \frac x2,\sin x={2t \over 1+t^2},\cos x={1-t^2 \over 1+t^2}\)
    • 无理函数积分
      • 含 \(\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}:t=\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}\)
      • 含 \(\sqrt{ax^2+bx+c}:\sqrt{ax^2+bx+c}\ \Rightarrow \sqrt{a(x-h)^2+k}\ \Rightarrow \sqrt k\sqrt{(\sqrt{\frac ak}(x-h))^2+1}\) 反三角函数的导数
        • 换元积分法：\(\int f(x)\)
  • 定积分
    • 性质：
      • \(\int_a^af(x){\rm d}x=0\)
      • \(\int_b^af(x){\rm d}x=-\int_a^bf(x){\rm d}x\)
      • \(\int_a^bkf(x){\rm d}x=k\int_a^bf(x){\rm d}x\)
      • \(\int_a^b(f(x) \pm g(x)){\rm d}x=\int_a^bf(x){\rm d}x \pm \int_a^bg(x){\rm d}x\)
      • \(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^cf(x){\rm d}x+\int_c^bf(x){\rm d}x\)
      • \(\forall\ x \in [a,b],f(x)=1 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x=b-a\)
      • \(f(x) \geq 0 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq 0\)
        • \(f(x) \geq g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq \int_a^bg(x){\rm d}x\)
        • \(|\int_a^b f(x){\rm d}x| \leq \int_a^b|f(x)|{\rm d}x (a<b)\)
      • \(m=\min\limits_{x \in [a,b]}f(x),M=\max\limits_{x \in [a,b]}f(x):m(b-a) \leq \int_a^bf(x){\rm d}x \leq M(b-a)\)
      • \(f(x)\) 在\([a,b]\) 上连续，\(g(x)\) 在 \([a,b]\)上可积且不变号 \(\Rightarrow \exists\ \xi \in [a,b],\int_a^bf(x)g(x){\rm d}x=f(\xi)\int_a^bg(x){\rm d}x\)
    • 微积分学基本定理：\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续 \(\Rightarrow \Phi(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，且 \(\Phi'(x)=\frac {\rm d}{{\rm d}x}\int_a^bf(t){\rm d}t=f(x)\)
    • 牛顿-莱布尼茨公式：
      • 形式一：\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(b){\rm d}x-\int f(a){\rm d}x\)
      • 形式二：\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(x){\rm d}x|_a^b\)
    • 换元法：\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(x=g(t)\) 在 \([a,b]\) 上有连续导函数：\(\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}(f \circ g)(t)g'(t){\rm d}t\)
    • 分部积分法：
      • 导数形式：\(\int_a^bu(x)v'(x){\rm d}x=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x){\rm d}x\)
      • 微分形式：\(\int_a^bu(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bv(x){\rm d}(u(x))\)
  • 二重积分
  • 三重积分
  • 曲线积分
  • 曲面积分

微分方程计算

• 一阶微分方程(\({dy \over dx}=f(x,y)\))：
  • 基础-分离变量法：\({dy \over dx}=f(x,y) \Rightarrow \psi(y)dy=\phi(x)dx \Rightarrow \Psi(y)=\Phi(x)+C\)
    （要求 \(f(x,y)\) 可被分解为 \(M(x)N(y)\) 的形式）
    • 特殊形式（可通过换元分离变量）：
      • 齐次方程：\({dy \over dx}=f(\frac yx)\) \((let\ u=\frac yx:y=ux,{dy \over dx}=u+x{du \over dx},{du \over dx}={f(u)-u \over x})\)
        (其他可以化为齐次方程的形式：\({dy \over dx}=f({a_1x+b_1y+C_1 \over a_2x+b_2y+C_2})\)（上下\(\frac ab\)相等时令 \(u=ax+by\) ,否则换元消掉常数\(C\)后上下同除x即可变为齐次方程）)
  • 扩展：
    • \({d^2y \over dx^2}=f(x,{dy \over dx})\) 型：换元 \(u={dy \over dx}\),按 \({dy \over dx}=f(x,y)\) 型求，最后积分
    • \({d^2y \over dx^2}=f(y,{dy \over dx})\) 型：令 \({dy \over dx}=q\) ，则 \({d^2y \over dx^2}=q{dq \over dy} \Rightarrow {dq \over dy}={f(y,q) \over q}\)
    • \(y^{(n)}=f(x)\) 型：不断积分得 \(y=(\int dx)^nf(x)+\sum\limits_{i=0}^{n-1}{C_{n-i} \over i!}x^i\)
• 线性微分方程：\(\sum\limits_{i=0}^{n} a_i(x)y^{(i)}=f(x)\) （假设 \(a_i(x) \equiv 1\)）
  • n阶齐次线性微分方程：求出n个线性无关解 \(\{y_i(x)\}_{i=1}^n\) ,则通解为 \(y=\sum\limits_{i=1}^n C_iy_i(x)\)
  • n阶非齐次线性微分方程：求出对应齐次线性微分方程的通解和原方程的一个特解加和即可
  • 一阶线性微分方程 \(y'+P(x)y=Q(x)\) 解法：
    • \(if\ Q(x) \equiv 0\): 分离变量法 \(\Rightarrow y=Ce^{-\int P(x)dx}\)
    • \(else\): 常数变易法
      (\(let\ y=C(x)e^{-\int P(x)dx}\)，求导后对应相等得
      \(y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\)
      前半部分为齐次线性微分方程通解，后半部分为非齐次线性微分方程特解)
    • 特殊形式：
      • Bernoulli方程：\(y'+P(x)y=Q(x)y^n \Rightarrow y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x) \Rightarrow \frac1{1-n}(y^{1-n})'+P(x)y^{1-n}=Q(x)\)
  • 二阶线性微分方程：
    • 齐次（\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)）: \(y_2(x)=y_1(x)\int\frac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x)dx}dx\)(刘维尔公式)
    • 非齐次：常数变易法（令 \(y=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)\) 求解得 \(C_1(x)=\int({-y_2(x)f(x) \over W})dx+D_1,C_2(x)=\int({-y_1(x)f(x) \over W})dx+D_2\) 代入即可）
  • 常系数齐次线性微分方程：
    • 二阶：令 \(\phi(r)=r^2+pr+q\) (特征多项式):
      • 若 \(\Delta>0,y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
      • 若 \(\Delta=0,y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}\)
      • 若 \(\Delta<0,r=\alpha \pm i\beta,y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)
    • n阶：
      • k重实根 \(r:e^{rx}\sum\limits_{i=1}^kC_ix^{i-1}\)
      • 共轭k重复根 \(r=\alpha \pm i\beta:e^{\alpha x}[\cos\beta x\sum\limits_{i=1}^k C_ix^{i-1}+\sin\beta x\sum\limits_{i=1}^k D_ix^{i-1}]\)
  • 常系数非齐次线性微分方程：(特殊情况：\(P_m(x),e^{\lambda x},\sin\beta x,\cos\beta x\))
    (本质：列出可能的项设参求导后对应相等)
    • \(f(x)=P_m(x)\): 待定系数法对应相等
    • \(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\): 设 \(y^*=Q(x)e^{\lambda x}\)，求 \(Q''(x)+\phi'(\lambda)Q'(x)+\phi(\lambda)Q(x)=P_m(x)\) 的特解
    • \(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\sin\beta x\) 或 \(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos\beta x\):复数换元
  • 常系数线性微分方程组：
    • (1) 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程
    • (2) 解次高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数
    • (3) 把已求得的函数代入原方程组（一般而言，不必经过积分就可求出其余的位置函数）
• 欧拉方程：\(\sum\limits_{i=0}^{n}p_{n-i}x^{i}y^{(i)}=f(x)\)（假设 \(p_0=1\)）
  • 设 \(t=\ln x,D=\frac d{dt}\)，则 \(x^ky^{(k)}=D^{\underline k}[y]\)

级数收敛

• 常数项级数：收敛判定
  • 正项级数：\(a_n \geq 0\) 的级数，记为 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\)
    • \(u_i\) 收敛 \(\Leftrightarrow \{s_n\}\) 有上界
    • 比较审敛法：（多项式优先使用）
      • 基础版本：已知正项级数 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,u_n \leq kv_n(k>0)\):
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散 \(\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 发散
      • 进化版本（常用）：已知正项级数 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {u_i\over v_i}=k(k \geq 0)\):
        • \(k=0:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
        • \(k=C>0:\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 敛散性相同
        • \(k=+\infty:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i\) 发散 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散
      • 推论（改进版本）：当 \(v_n=\frac1{n^p}\) 时：
        • \(p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n\) 收敛
        • \(p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n\) 收敛
    • 比值审敛法/达朗贝尔判别法：已知 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty }{u_{n+1} \over u_n}=k(k \geq 0)\):
      • \(0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
      • \(k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 可能收敛，也可能发散
      • \(k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散
        （幂次简单的指数函数、阶乘优先使用）
    • 柯西根值审敛法：已知 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=k\)
      • \(0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛
      • \(k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 可能收敛，也可能发散
      • \(k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 发散
        （幂次为复杂多项式的指数函数优先使用）
    • 积分审敛法/积分判别法：已知单调递减非负函数 \(f(x)(x \geq 1)\) 与 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\)，若 \(u_n=f(n)\)，则 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 与 \(\int_1^{+\infty} f(x){\rm d}x\) 敛散性相同
  • 任意项级数：
    • 柯西审敛原理：\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛 \(\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon>0, \exists\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N, |\sum\limits_{i=1}^\infty a_{n+i+1}| \leq \varepsilon\)（来自数列的柯西审敛原理）
    • 莱布尼茨定理：\(\sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i\) 满足：
      • \(u_n \geq u_{n+1}\)
      • \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n=0\)
        \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i\) 收敛，且 \(s \leq u_1,|r_n| \leq u_{n+1}\)
    • 估计审敛法：
      • 绝对收敛：\(\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|\) 收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 绝对收敛
      • 条件收敛：\(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 收敛，\(\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|\) 发散 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 条件收敛
      • \(u_n^+=\frac{|u_n|+u_n}2,u_n^-=\frac{|u_n|-u_n}2\)(均不含符号)
        • \(u_n=u_n^+-u_n^-,|u_n|=u_n^++u_n^-\)
      • 定理：
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 绝对收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-\) 均收敛（来自柯西审敛原理+三角不等式得出 \(\sum\limits_{i=1}^\infty u_i\) 收敛，再由比较审敛法得另两个收敛）（ \(|\sum\limits_{i=1}^k u_{n+i}|=\sum\limits_{i=1}^k|u_{n+i}|\)）
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) 条件收敛 \(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-\) 均发散到 \(+\infty\)（ \(\sum\limits_{i=1}^\infty (|u_i| \pm u_i)\) 发散 ）
        • 绝对收敛级数经改变项的次序后所得到的新级数仍绝对收敛，并且级数的和不变
        • \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty b_i\) 绝对收敛，其和分别为 \(s,\sigma\) \(\Rightarrow (\sum\limits_{i=1}^\infty a_i)(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i)\)，且其和为 \(s\sigma\)
• 函数项级数：收敛域判定
  • 幂级数：\((-R,R)\)（边界需特判）
    • Abel 定理：
      • \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(x=x_0 \neq 0\) 处收敛 \(\Rightarrow |x|<|x_0|\) 时 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 绝对收敛
      • \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 在 \(x=x_0 \neq 0\) 处发散 \(\Rightarrow |x|>|x_0|\) 时 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 发散
      • 推论：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\) 收敛域可能性：\((-R,R),(-R,R],[-R,R),[-R,R]\)
    • 比值判别法：已知 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| =k\)
      • \(k=0:R=+\infty\)
      • \(0<k<+\infty:R=\frac1k\)
      • \(k=+\infty:R=0\)
    • 根值判别法：已知 \(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=k\)
      • \(k=0:R=+\infty\)
      • \(0<k<+\infty:R=\frac1k\)
      • \(k=+\infty:R=0\)

级数求和（仅针对幂级数）

• 方法：通过转化为 \(\sum\limits_{i=k_1}^{k_2} x^i\) 计算
  • 积分法则：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i=\int_0^x (\sum\limits_{i=0}^\infty (i+1)a_{i+1}t^i){\rm d}t+a_0\)
    • 本质：\(s(x)=\int_0^x s'(t){\rm d}t+s(0)\)
  • 求导法则：\(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i={{\rm d}(\sum\limits_{i=0}^n {a_i \over i+1}x^{i+1}) \over {\rm d}x}\)
    • 本质：\(s(x)={{\rm d}{\int s(x){\rm d}x} \over {\rm d}x}\)
• 转化技巧：
  • 注意和式的起始位置不要搞错（为了防止搞错，过程中尽量不要改变 \(i\) 求和的起始位置，到要转化为 \(\frac 1{1-x}\) 时再换）
    • \(\sum\limits_{i=1}^n x^i=\frac 1{1-x}-1 \neq \frac 1{1-x}\)
  • 分式要拆成和，不要二重积分（会增加不定元）
    • \(\sum\limits_{i=1}^\infty {x^i \over i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^\infty {x^i \over i}-\frac 1x\sum\limits_{i=1}^\infty{x^{i+1} \over i+1}=\int_0^x(\sum\limits_{i=1}^\infty t^{i-1}){\rm d}t+\frac 1x\int_0^x(\sum\limits_{i=1}^\infty t^i){\rm d}t=\int_0^x\frac 1{1-t}{\rm d}t+\frac 1x\int_0^x (\frac 1{1-t}-1){\rm d}t=(1+\frac 1x)\ln(1-x)+x\)

待完善。。。

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