[ABC318D] General Weighted Max Matching 题解

题意

给定无向有权完全图，求最大权匹配。

思路分析

注意到 \(n \le 16\)，我考虑状压 DP。

设当前点集 \(S\) 中最大权匹配的答案是 \(f_S\)，我们考虑 \(S\) 中“最后”一个点 \(p\)（这里的“最后”一个点是指，在状压表示状态的时候，最后一个 1 所代表的那个点，只需从这个点考虑就行，不需要考虑其他前面的点，因为会被更小状态考虑过）。

我们可以从前面其他点中，选择一个点 \(q\) 和这个点匹配，也可以不匹配这个点。于是有转移方程：

\[f_S = \max(f_{S-p},f_{S-p-q}),p \in S,q \in S, p \ne q \]

其中 \(w_{p,q}\) 代表点 \(p\) 与点 \(q\) 之间的边权。

初始化：当 \(S\) 中没有点或只有一个点的时候 \(f_S = 0\)；当 \(S\) 中有两个点 \(u,v\) 时，\(F_S = w_{u,v}\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 18;
const int S = (1<<(N+1));

LL a[N][N];
LL dp[S];
LL cnt[S];
LL n;

int count(int s)
{
	if(cnt[s] != -1)
		return cnt[s];
	int ans = 0;
	while(s>0)
	{
		ans += (s&1);
		s >>= 1;
	}
	return cnt[s] = ans;
}

LL dfs(int s)
{
	if(dp[s] != -1) return dp[s];
	if(count(s) <= 1)
	{
		dp[s] = 0;
		return 0;
	}
	if(count(s) == 2)
	{
		int idx1 = -1,idx2 = -1;
		int tmp = s,tmpidx = 0;
		while(tmp>0)
		{
			if(tmp&1)
			{
				if(idx1 == -1)
				{
					idx1 = tmpidx;
				}
				else
				{
					idx2 = idx1;
					idx1 = tmpidx;
				}
			}
			tmpidx++;
			tmp >>= 1;
		}
		dp[s] = a[idx1][idx2];
		return dp[s];
	}
	LL idxf = -1;
	LL ans = 0;
	for(int i = n-1;i >= 0;i--)
	{
		if((s&(1<<i)) > 0)
		{
			if(idxf == -1)
			{
				idxf = i;
			}
			else
			{
				ans = max(ans,a[idxf][i]+dfs(s-(1<<i)-(1<<idxf)));
			}
		}
	}
	ans = max(ans,dfs(s-(1<<idxf)));
	return dp[s] = ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	memset(cnt,-1,sizeof(cnt));
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = i+1;j <= n;j++)
		{
			cin >> a[i-1][j-1];
			a[j-1][i-1] = a[i-1][j-1];
		}
	}
	dfs((1<<n)-1);
	cout << dp[(1<<n)-1] << "\n";
	return 0;
}