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蓝桥杯2022年第十三届决赛真题-斐波那契数组（动态规划）

发布时间 2023-05-23 23:28:49作者: 谪仙梦

题目描述

如果数组 A = (a0, a1, · · · , an−1) 满足以下条件，就说它是一个斐波那契数组：

  1. n ≥ 2；

  2. a0 = a1；

  3. 对于所有的 i(i ≥ 2)，都满足 ai = ai−1 + ai−2。

现在，给出一个数组 A ，你可以执行任意次修改，每次修改将数组中的某个位置的元素修改为一个大于 0 的整数。请问最少修改几个元素之后，数组 A 会变成一个斐波那契数组。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n ，表示数组 A 中的元素个数。

第二行包含 n 个整数 a0, a1, · · · , an−1，相邻两个整数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示最少需要修改数组 A 中的几个元素之后，数组 A 可以变为一个斐波那契数组。

样例输入

3
4 6 9

样例输出

4

解答

  1. 这道题是典型的斐波那契数列题，而且因为题目的数据范围很大，使用暴力递归几乎全部数据都会超时，所以我们使用动态规划进行解答
  2. 写出基本的解答斐波那契数列的动态规划代码，后续对此进行更改
        dp[1] = dp[2] = 1;
        for (int i = 3; ; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
  1. 因为输入的数据会出现不以1，1，2...开头的数据，而是2，2，4，6 ....等等，我们不能只计算以1开始的斐波那契数列，所以我们暴力遍历1-1000000开始的所有数列，并以修改次数最小的那次遍历作为答案，所以我们可以定义函数int dp(int start)，返回以start开始的数列与原数组需要修改的次数
    public static int dp(int start) {
        // range代表dp数组的范围，因为dp数组大小只有100，遍历arr数组会超过dp数组的范围
        int range = 2;
        dp[1] = dp[2] = start;
        for (int i = 3; ; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            // 数据范围在1000000以内
            if (dp[i] > 1000000) break;
            range++;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= range; i++) {
            if (arr[i] == dp[i]) {
                ans++;
            }
        }
        return n - ans;
    }
  1. 暴力遍历，答案为每一个数字开始的数组中修改最少次数的那一次
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i <= 1000000; i++) {
            int cur = dp(i);
            ans = Integer.min(cur, ans);
        }
        System.out.println(ans);
  1. 需要注意一点，就是我为什么会暴力遍历1-1000000 的dp数列，因为求斐波那契数列的过程非常快，然后剪枝掉超过数据范围的循环，因为以1开始的斐波那契数列在31项时就会超过1000000，那么每次遍历不会循环2（31）次，所以可以暴力解此题

完整代码

package lanqiao.java13cFinal;

import java.util.Scanner;

public class E {
    static int N = 100005;
    static int n;
    static int[] arr = new int[N];
    static int[] dp = new int[100];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            arr[i] = sc.nextInt();
        }
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i <= 1000000; i++) {
            int cur = dp(i);
            ans = Integer.min(cur, ans);
        }
        System.out.println(ans);
    }

    public static int dp(int start) {
        int range = 2;
        dp[1] = dp[2] = start;
        for (int i = 3; ; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            if (dp[i] > 1000000) break;
            range++;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= range; i++) {
            if (arr[i] == dp[i]) {
                ans++;
            }
        }
        return n - ans;
    }
}