Tree Distances I

思路

先考虑只算节点 $1$ 的答案，我们发现如果要每个节点都这么算一次的话，绝对会
我们发现，这种算法的瓶颈在于必须要每个节点都算一遍，而每算一遍都需要 $O(n)$，所以才会超时，那么可以思考如何快速的求出答案（总共 $O(1)$ 是不肯能的，别妄想了），对于相连的两个点，似乎是存在一些关系的，比如：
设 $f_u$ 为 $u$ 的答案，$g_u$ 为子树根节点为 $u$ 的子树深度。
节点 $x$ 和他的父亲 $y$，那么如果知道 $y$ 的答案，那么 $x$ 的可能的答案可以是 $f_y + 1$。
但是我们知道 $x$ 的答案还可以往下找，所以 $x$ 的答案还可以是 $g_x$。
不过推到这里还不算完，因为如果说 $f_y$ 的路径中包含 $x$ 那么答案就不能是 $f_y$ 了，因为 $x$ 的答案的路径不可能折上去又折下来，所以重新设计：
设 $f_{u,0}$ 为 $u$ 的答案最大值，$f_{u,1}$ 为 $u$ 的答案次大值，$g$ 不变。
那么如果说在 $f_{y,0}$ 的路径中有 $x$，那么就可以用 $f_{y,1}$ 来更新答案，否则用 $f_{y,0}$，然后就结了。

code

点击查看代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int MaxN = 2e5 + 10;

int f[MaxN][2], n;
vector<int> g[MaxN];

void S(int x, int fa) {
  for (int i : g[x]) {
    if (fa == i) continue;
    S(i, x);
    int w = f[i][0] + 1;
    if (f[x][0] < w) {
      f[x][1] = f[x][0], f[x][0] = w;
    } else if (f[x][1] < w) {
      f[x][1] = w;
    }
  }
}

void DFS(int x, int fa) {
  for (int i : g[x]) {
    if (i == fa) continue;
    if (f[i][0] + 1 == f[x][0]) {
      int w = f[x][1] + 1;
      if (f[i][0] < w) {
        f[i][1] = f[i][0], f[i][0] = w;
      } else if (f[i][1] < w) {
        f[i][1] = w;
      }
    } else {
      int w = f[x][0] + 1;
      if (f[i][0] < w) {
        f[i][1] = f[i][0], f[i][0] = w;
      } else if (f[i][1] < w) {
        f[i][1] = w;
      }
    }
    DFS(i, x);
  }
}

int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
    cin >> u >> v;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }
  S(1, -1);
  DFS(1, -1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cout << f[i][0] << " ";
  }
  return 0;
}

习题 Tree Distances II（更水的题）

由于父亲的答案被占用了，也不会影响统计答案，然后如果用父亲 $y$ 的答案转移到儿子 $x$ 的话，那么除了 $x$ 的子树的其它所有节点到 $x$ 的答案都要 $+1$，而 $x$ 及以下的答案都要 $ - 1$，所以可以设 $sum_i$ 为子树 $i$ 的大小，然后可以推出：$f_x=f_y+(sum_1-sum_x)-sum_x$。

code

点击查看代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
using ll = long long;

const int MaxN = 2e5 + 10;

ll f[MaxN], sum[MaxN], n;
vector<int> g[MaxN];

ll S(int x, int fa) {
  ll res = 0;
  sum[x] = 1;
  for (int i : g[x]) {
    if (fa == i) continue;
    res += S(i, x) + sum[i];
    sum[x] += sum[i];
  }
  return res;
}

void DFS(int x, int fa) {
  for (int i : g[x]) {
    if (i == fa) continue;
    f[i] = f[x] + (sum[1] - sum[i]) - sum[i];
    DFS(i, x);
  }
}

int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
    cin >> u >> v;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }
  f[1] = S(1, -1);
  DFS(1, -1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cout << f[i] << " ";
  }
  return 0;
}