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《动手学深度学习 Pytorch版》 4.5 权重衰减

发布时间 2023-09-06 09:27:52作者: AncilunKiang

4.5.1 范数与权重衰减

整节理论，详见书本。

4.5.2 高维线性回归

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 生成一些数据，为了使过拟合效果更明显，将维数增加到 200 并使用一个只包含 20 个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05  # 设置真实参数
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

4.5.3 从零开始实现

  1. 初始化模型参数
def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]
  1. 定义 \(L_2\) 范数惩罚
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

  1. 定义训练代码实现

    损失函数直接通过 d2l 包导入，损失包含了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
  1. 忽略正则化直接训练
train(lambd=0)

w的L2范数是： 14.042692184448242

image

  1. 使用权重衰减
train(lambd=3)

w的L2范数是： 0.35160931944847107

image

4.5.4 简洁实现

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},  # PyTorch默认同时衰减权重和偏置，此处使用 weight_decay指定仅权重衰减
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

train_concise(0)

w的L2范数： 12.836501121520996

image

train_concise(3)

w的L2范数： 0.3978956639766693

image

练习

（1）在本节的估计问题中使用 \(\lambda\) 的值进行实验。绘制训练精度和测试精度有关 \(\lambda\) 的函数图，可以观察到什么？

随着 \(\lambda\) 的增大可以改善过拟合的现象，但是 \(\lambda\) 过大也会影响收敛。

for i in (0, 2, 8, 32, 128, 256):
    train_concise(i)

w的L2范数： 0.008308843709528446

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（2）使用验证集来找最优值 \(\lambda\)。它真的是最优值吗？

不至于说是最优的，毕竟再怎么样验证集也和训练集分布有些许区别，只能说是比较接近最优值。

（3）如果我们使用 \(\sum_i|w_i|\) 作为我们选择的惩罚（\(L_1\)正则化），那么更新的公式会是什么样子？

如果使用 \(L_1\) 正则化则最小化预测损失和惩罚项之和为：

\[LR(\boldsymbol{w},b)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}+b-y^{(i)})^2+\lambda\sum^n_{i=1}|w_i| \]

\(L_1\) 范数有求导问题，在此，规定在不可导点 \(x=0\) 的导数为 0，则：

\[\boldsymbol{w}\gets\boldsymbol{w}-\eta\ \frac{\partial LR(\boldsymbol{w},b)}{\partial\boldsymbol{w}}=\boldsymbol{w}-\frac{\eta}{|B|}\sum_{i\in B}\boldsymbol{x}^{(i)}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}+b-y^{(i)})-\lambda\ \eta\ \text{sign}(\boldsymbol{w}) \]

（4）我们知道 \(||\boldsymbol{w}||^2=\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{w}\)。能找到类似的矩阵方程吗？（见 2.3.10 节中的弗罗贝尼乌斯范数）

弗罗贝尼乌斯范数时矩阵元素平方和的平方根：

\[||\boldsymbol{X}||_F=\sqrt{\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}x^2_{ij}} \]

和L2范数的平方相似，弗罗贝尼乌斯范数的平方：

\[||\boldsymbol{X}||_F^2=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X} \]

（5）回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型，还有其他方法来处理过拟合吗？

Dropout暂退法、多种模型组合等

（6）在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式 \(P(w|x)\propto P(x|w)P(w)\) 得到后验。如何得到正则化的 \(P(w)\)？

以下参见王木头大佬的视频《贝叶斯解释“L1和L2正则化”，本质上是最大后验估计。如何深入理解贝叶斯公式？》

使用最大后验估计，令：

\[\begin{align} w&=\mathop{\arg\max}\limits_{w}P(w|x)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}\frac{P(x|w)}{P(x)}\cdot P(w)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}P(x|w)\cdot P(w)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}\log(P(x|w)\cdot P(w))\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}(\log P(x|w)+\log P(w))\\ \end{align} \]

其中：

  • \((2)\Rightarrow(3)\) 是由于分母 \(P(x)\) 是与 \(w\) 无关的常数，故可以忽略。
  • \((3)\Rightarrow(4)\) 是由于习惯上添加 \(\log\) 运算。

\(P(w)\) 作为先验概率可以任取

  • 如果取高斯分布 \(w\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2)\)，则出现 \(L_2\) 正则化：

\[ \begin{align} \log P(w)&=\log\prod_i\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(w_i-0)^2}{2\sigma^2}}\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_iw_i^2+C \end{align} \]

  • 如果取拉普拉斯分布 \(w\sim\mathrm{Laplace}(0,b)\)，则出现 \(L_1\) 正则化：

\[ \begin{align} \log P(w)&=\log\prod_i\frac{1}{2b}e^{-\frac{|w_i-0|}{b}}\\ &=-\frac{1}{b}\sum_i|w_i|+C \end{align} \]

太奇妙了！