求极限的若干种方法-526互联

1.同除
如果上下是多项式函数（可能是关于另外一个函数的多项式函数）/带根号的函数，则可以尝试同除法
这样子能把上下转化成若干个常数/根号下常数/根号下分式的形式
比如我们求\(\lim_{x\to \inf}\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}\)
这是\(\frac{\inf}{\inf}\)，所以使用洛必达法则
等于\(\lim_{x\to \inf}\frac{\frac{3^x\ln 3}{1+3^x}}{\frac{2^x\ln 2}{1+2^x}}=\lim_{x\to \inf}\frac{(3^x\ln 3)(1+2^x)}{(2^x\ln 2)(1+3^x)}\)
上下同除\(6^x\)，得到\(\lim_{x\to \inf}\frac{\ln 3(\frac{1}{2^x}+1)}{\ln 2(\frac{1}{3^x}+1)}=\frac{\ln 3}{\ln 2}\)
2.夹逼定理
把式子恰当放缩成\(g(x),h(x)\)，让\(g(x),h(x)\)的极限和原式子相同。
比如如果我们要求\(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\)，我们可以考虑不等式\(\sin x<x<\tan x\)
除以\(\sin x\)得到\(1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\)，\(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=1\)得证
3.利用重要极限
有两个重要极限：\(\lim_{x\to 0}\frac{sin}{x}=1,\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1\)
例子是如果我们要求\(\lim_{x\to 0+}\sin x \ln x\)
我们可以转化成\(\lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{x} \frac{x}{\ln x}=\lim_{x\to 0+}\frac{x}{\ln x}=0\)
4.乘以共轭
如果式子形如\(a+\sqrt{b}\)，则可以把式子乘以\(\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}\)。
比如我们求\(\lim_{x\to \inf}\sqrt{x^2+x}-x=\lim_{x\to \inf}(\sqrt{x^2+x}-x)(\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x})\)
\(=\lim_{x\to \inf}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x\to \inf}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{2}\)
5.洛必达法则
如果原式的极限比较难求，可以用洛必达法则进行转化。
数列类似也有stolz定理。
6.复合函数求极限法则
假设\(f(x)\)在\(x_0(\neq \inf)\)的某去心邻域有定义，且\(\lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)\)，\(\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim_{x\to x_0}f(x))\)
7.求\(k\)次方法（\(k\)可能小于\(1\)）
如果式子内出现根号/次方，可以求\(k\)次方。
8.取对数
如果我们要求\(\lim_{x\to a}f(a)\)，等于求\(\lim_{x\to a}e^{f(a)}\)