信号可以用一个时间函数来表示
1 信号的表示
信号的形式多种多样，所以直接对信号本身进行分析和处理是比较困难的
常采用的方法是将一般的复杂信号展开成各种类型的基本信号之和或积分
当信号通过线性系统时， 输出响应可以用这些基本信号的响应之和或积分来求取
基本信号的主要特点是： 实现比较简单 ，或者分析比较简单，或都简单
信号表示的历史
最初较易产生与处理的信号是连续简谐信号，所以都用简谐信号作为分解的基本信号
随着对离散信号的研究日益深入 ，可用做分解的基本信号也越来越多
Eg. 抽样信号（其极限是冲激函数）和只有两值的函数（沃尔什函数）
信号表示的条件
把信号分解成一组基本信号的线性组合，这些基本信号的集合一般满足正交条件。
f1(t)与f2(t)正交的条件：$\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2^*(t)dt=0$
$f_2^*(t)$是f2(t)的共轭
k≠n时，可扩展到时间的无穷区间
$\int_{-\infin}^{\infin}f_k(t)f_n^*(t)dt=0$
周期信号的简谐波展开
- 周期信号的傅里叶级数表示式、周期信号的综合公式
一个周期为 T 的信号f(t)可分解为
w0 称为周期信号f(t)的基频（角频率）
- 周期信号的分析公式
在选取有限项来近似信号时 ，系数C_k在均方误差最小的意义上是最佳选取。
N→∞时 ，均方误差 E 趋于零 ，傅里叶级数之和趋近于周期信号f(t)
1.分析（英语：Analysis）是在头脑中把事物或对象由整体分解成各个部分或属性。
2.综合（Composite）是在头脑中把事物或对象的各个部分与属性联合为一个整体。
综合把分析过的对象或现象的各个部分、各个属性联合成一个统一的整体，与“分析”相对。
- 任意周期实信号可由其直流分量和各个相位为θk、 振幅为2|Ck|的谐波分量合成
- 周期实信号 f(t)， 还可以用一组｛coskw0t, sinkw0t｝ 的正交三角函数来组合表示
周期信号的离散频谱
k=0， 信号的直流分量
周期性矩形脉冲序列f(t)的傅里叶级数展开式
f(t)由各个基本信号e^{jkw0t}线性组合而成 ，系数C_k：各个基本信号的振幅和相位
借用光谱学的术语，称{C_k}为周期信号的离散频谱
性质
1.线性：周期信号$af_1(t)+bf_2(t)$的离散频谱为$aC_{1k}+bC_{2k}$
2.对称性：
①
②周期实偶信号f(t)
（周期实信号）
（偶函数）
离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱为零
③周期实奇信号f(t)离散频谱$C_k$是$kw_0$的实偶函数，振幅谱以纵轴为中轴对称，相位谱奇对称
3.周期信号f(t)的平均功率$P=\frac{1}{T}\int_T|f(t)^2|dt$（按各谐波成分振幅大小分配给各分量）
其离散频谱为$C_k$时，平均功率$P=\sum_{k=-\infin}^\infin|C_k|^2$（表示信号功率分配规律）
信号的能量在时域和频域相等
4.截断离散频谱高频成分带来的失真——吉布斯现象
实际处理时会忽略无穷级数的一些项，此时会带来一些失真，可估计离散频谱忽略高频谱线后引入的误差
有限项截断后
①傅里叶级数最小均方误差意义上，对原信号最逼近。N→∞，误差将单调趋于0。
②【吉布斯现象】在f(t)的间断点有过冲，过冲高度不随N→∞减至0
下图方波，$t= \pm \frac{T}{4}$附近，叠加波形9%过冲