题解 CF1817F Entangled Substrings
闲话：这场开始看 A 看错题了，打了好久发现样例都过不了，自闭了，不想打了，然后听 JV 的看 E，感觉 E 很奇怪，于是看 F，本来不打算做了发现 F 好像很可做的样子，于是就写了一发 F，但是最后回来 BC 都没做出来，还是输了/ll
这题题意很简单，给定串 \(s\)，询问有多少个有序串对 \((a,b)\) 满足 \(a,b\) 都是 \(s\) 的子串，并且存在可以为空的串 \(c\)，使得 \(a,b\) 在 \(s\) 中出现仅以 \(acb\) 的形式。数据范围 \(1\le|s|\le 10^5\)。
提到子串的出现次数考虑建立 SAM，在 SAM 上很容易求出每个节点对应的若干子串在 \(s\) 中的出现次数，我们考虑每个合法串对 \((a,b)\) 在 \(acb\) 对应节点的位置统计，这样容易发现不会遗漏。
考虑 \(s\) 的某个子串 \(t\) 要拆成合法的 \(acb\)，相当于是要找到 \(t\) 的一个前缀 \(a\) 出现次数和 \(t\) 相等，一个后缀 \(b\) 出现次数和 \(t\) 相等。这里有个细节点在单串构建的 SAM 上就是 \(b\) 作为 \(t\) 的后缀出现次数和 \(t\) 相等当且仅当 \(b\) 和 \(t\) 在同一个节点上，这个在构造 SAM 的时候很好归纳证明。
接下来考虑对于某个 \(t\) 如何找到合法的 \(a\)，\(a\) 要是 \(t\) 的前缀那么从 \(a\) 对应的节点出发行走若干步一定可以走到 \(t\) 对应的节点，而 \(a\) 出现次数要和 \(t\) 出现次数相同那么这条路径上面的所有节点出现次数都应该是相同的。我们考虑这样一张图，SAM 上的一条有向边保留当且仅当它连接的两个节点出现次数相同。事实上，你会发现这张图有一个特别的性质，就是它其实是一棵内向森林！证明也很简单，如果一个节点保留的出边有至少两条，那么这个节点出现次数就至少是这些出边节点出现次数之和，那么它出现次数就不可能和任意一个保留的出边节点出现次数相同了。
于是我们在这个内向森林中考虑，同一个节点的串一起考虑，对于某个节点 \(v\) 以及其某个祖先 \(u\)，考虑贡献如下图：
关键变成如何统计这个东西，容易发现 \(u\) 每次往上一层 \(len_{pa_u}\) 最多增加 \(1\)，而 \(dis\) 必然增加 \(1\)，所以后面 \(\max(0,*)\) 不取 \(0\) 对应的恰好是树上的一段前缀，开个桶就很好统计了。
好久没复习字符串了不太熟了，写了好久想了好久。。。
下面是代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int son[maxn*2][26],pa[maxn*2],len[maxn*2],vis[maxn*2],tot;
int extend(int p,int o){
int now=++tot;len[now]=len[p]+1;
while(~p&&!son[p][o])son[p][o]=now,p=pa[p];
if(!~p)pa[now]=0;else{int d=son[p][o];
if(len[d]==len[p]+1)pa[now]=d;else{
int _d=++tot;len[_d]=len[p]+1;
for(int i=0;i<26;++i)son[_d][i]=son[d][i];
while(~p&&son[p][o]==d)son[p][o]=_d,p=pa[p];
pa[_d]=pa[d];pa[d]=pa[now]=_d;
}
}
return now;
}
char s[maxn];
int SON[maxn*2],BRO[maxn*2],FA[maxn*2];
void Addson(int u,int v){
BRO[v]=SON[u],SON[u]=v;FA[v]=u;
}
void update(int u){
for(int v=SON[u];v;v=BRO[v]){
update(v);vis[u]+=vis[v];
}
}
int st[maxn],tp;
long long ans=0;
long long CNT[maxn*2],SUM[maxn*2];
void dfs(int u,int depth,long long tc,long long ts){
++CNT[depth+len[pa[u]]];
SUM[depth+len[pa[u]]]-=depth+len[pa[u]];
tc+=CNT[depth];ts+=SUM[depth];
ans+=1ll*(len[u]-len[pa[u]])*(tc*depth+ts);
for(int v=SON[u];v;v=BRO[v]){
dfs(v,depth+1,tc,ts);
}
tc-=CNT[depth];ts-=SUM[depth];
--CNT[depth+len[pa[u]]];
SUM[depth+len[pa[u]]]+=depth+len[pa[u]];
}
int main(){
pa[0]=-1;
scanf("%s",s+1);
int n=strlen(s+1);
++vis[0];
for(int i=1,p=0;i<=n;++i)
++vis[p=extend(p,s[i]-'a')];
for(int i=1;i<=tot;++i)
Addson(pa[i],i);
update(0);
for(int i=0;i<=tot;++i)
SON[i]=BRO[i]=FA[i]=0;
for(int i=0;i<=tot;++i)
for(int j=0;j<26;++j)
if(son[i][j]&&vis[son[i][j]]==vis[i])
Addson(son[i][j],i);
for(int i=0;i<=tot;++i)
if(!FA[i])dfs(i,0,0,0);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}