常用非初等函数
矩形函数
sinc函数
三角形函数
符号函数\(sgn\)
2 \(\delta\)函数
\[\left. \begin{array} { l } { \delta ( x , y ) = \{ \begin{array} { l } { 0 , } & { x \neq 0 y \neq 0 } \\ { \infty } & { x = y = 0 } \end{array} \} } \\ { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( x , y ) d x d y = 1 } \end{array} \} \right. \tag{2.1}
\]
也可以定义为一个序列极限的形式
\[\delta(x,y)=\lim_{ n \to \infty }g_{n}(x,y) \tag{2.2}
\]
\(\delta\)函数包含了所有频率的正弦波。
\[\begin{align}
\int _{-\infty}^{\infty}f(x_{0})\delta(x-x_{0}) \, dx=f(x_{0})
\end{align}
\]
\[\begin{align}
f ( x , y ) * \delta ( x , y )&=f(x,y) \\
f ( x , y ) * \delta ( x-x_{0} , y-y_{0} )&=f(x-x_{0},y-y_{0})
\end{align} \]
\[\begin{aligned}
\mathscr{F}[\delta(x-x_{0},y-y_{0})]&=\iint_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_{0},y-y_{0}) \exp \{ - j 2 \pi ( f_{x}x + f_{y}y ) \}dx dy\\
&=\exp[-2\pi j(f_{x}x_{0},f_{y}y_{0})]
\end{aligned}\]
上式的物理含义是点光源经过透镜之后变成平面波。
\[\int_{- \infty}^{\infty}\exp(-j2 \pi \xi x)dx= \delta(\xi)
\]
其含义是平面波汇聚到一点。
傅里叶变换性质定理
求\(\mathscr{F}[\exp(i{2}\pi f_{0}t)]\)
\[\begin{aligned}
\mathscr{F}[\exp(i{2}\pi f_{0}t)]&= \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp(i{2}\pi f_{0}t) \exp (- i 2 \pi f_{x}t) d t \\
&=\int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp[-i{2}\pi t(f_{x}-f_{0})] d t\\
&=\delta(f_{x}-f_{0})
\end{aligned}\]
求\(\mathscr{F}[\cos({2}\pi f_{0}t)]\)
\[\begin{aligned}
\mathscr{F}[\cos({2}\pi f_{0}t)]&=\mathscr{F}\left[ \frac{\exp(i2 \pi f_{0}t)+\exp(-i2 \pi f_{0}t)}{2} \right]\\
&=\frac{\delta(f_{x}-f_{0})+\delta(f_{x}+f_{0})}{2}
\end{aligned}\]
傅里叶函数 Fourier
\[F ( g , n ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x , y ) \exp \{ - j 2 \pi ( f_{x}x + f_{y}y ) \} d x d y
\]
不是所有的函数都有 fourier transfer。必须全域可积分，任意区间有限第一类间断点，有限个间断点。
对于广义傅里叶变换 generalize Fourier：都可以
physical possibility is a valid sufficient condition of the existence condition。
卷积 covulotion
\[\begin{align}
f(x)*g(x)=\int^{-\infty}_{+\infty} \, d \zeta
\end{align}
\]
换元 反转 平移
图像法 卷积定理 空域的卷积等效于频域的
相关 correlation
LSI system(Linear Space-invariant(不变的))
linear 线性约束
一个系统可以抽象成输入函数\(f\)经过某些变换变成输出函数\(g\)，可以表示为
\[g=S\{f\} \quad
\]
其中f,g可以是任意高维。如\(g(x_{1},y_{1})=S\{f(x_{2},y_{2})\}\)。
一个线性系统(linear system)具有叠加性和均匀性。分别描述如下
\[\begin{align}
g_{1}(x_{1},y_{1})+g_{2}(x_{1},y_{1})&=S\{f_{1}(x_{2},y_{2})\}+S\{f_{2}(x_{2},y_{2})\}\\ \\
ag(x_{1},y_{1})&=S\{af(x_{2},y_{2})\}=aS\{f(x_{2},y_{2})\}
\end{align}
\]
对于线性系统，算符S具化为L。并且在光学线性系统中最常用的基元函数有以下三种
| 基元函数表达式 |
物理含义 |
原函数分解 |
| \(\delta(x-x_{0},y-y_{0})\) |
点光源 |
\(f(x,y)=\iint_{-\infty}^{\infty}\delta(x-u,y-v)f(u,v)dxdy\) |
| \(\exp(i2\pi(f_{x}x+f_{y}y))\) |
平面波 |
\(f(x,y)=\iint_{-\infty}^{\infty}F(f_{x},f_{y})\exp[i_{2}\pi(f_{x}x+f_{y}y)]\) |
| 冲击响应函数 implus Response function |
|
|
\[L[\delta(x-x_{1},y-y_{1})]=h(x_{2},y_{2},x,y)
\]
\(L[\delta(x-x_{1},y-y_{1})]\)的物理意义是：输入平面上位于\((x_{1},y_{1})\)处的点光源\(\delta\)通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点、扩散函数。对于给定的光学系统，点扩散函数一般与输入点脉冲的位置(0，B)有关。
space-invariant 空间平移不变性
\[h(x_{2},y_{2},u,v)=h(x_{1}-u,y_{1}-v)
\]
\(f(x)\) varies in space，\(g(x)\) 相同平移。
in space Domain
\[g(x,y)=\iint_{-\infty}^{\infty}h(x-u,y-v)f(u,v)dxdy=f(x,y)*h(x,y)
\]
in Freq Domain 根据卷积定理
\[G(f_{x},f_{y})=F(f_{x},f_{y})H(f_{x},f_{y})
\]
where the transfer function(传递函数) of the LSI system is
\[H(f_{x},f_{y})=\iint_{-\infty}^{+\infty}h(x,y)\exp(f_{x}x,f_{y}y)dxdy
\]
the H function represent the ability of the system at diffent Freq.