数学基础

默认为列向量，各种API都是默认列向量

点积（数量积、标量积、内积）

两个向量长度和他们夹角的积。
$\vec{a} \cdot \vec{b} = ||a|| ||b|| cos \theta$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{matrix}
x_1\y_1\z_1
\end{matrix}\right)\cdot\left( \begin{matrix}
x_2\y_2\z_2
\end{matrix}\right) = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

• 结果是个数，与夹角余弦值成正比。
• 作用
  • 求两向量夹角$\theta$、余弦值
  • 求投影
  • 求余弦相似度，看两个向量有多接近
  • 求向量方向，点乘大于零为同向，小于零反向，等于零垂直，等于1重合，等于-1完全反向。

叉积

$\vec{z}=\vec{x} \times \vec{y} = - \vec{y} \times \vec{x}$ ，c的方向通过右手定则确定，右手四指顺着由a出发指向b，拇指方向即为c方向。
$||\vec{x} \times \vec{y}|| = ||x| |||y|| sin \theta$
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{matrix}
x_1\y_1\z_1
\end{matrix}\right)\times\left( \begin{matrix}
x_2\y_2\z_2
\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}
y_1z_2-y_2z_1\z_1y_2-x_1z_2\x_1y_2-y_1x_2
\end{matrix}\right)$

$\vec{a} \times \vec{b} = A^* \left( \begin{matrix}
x_2\y_2\z_2
\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0&-z_1&y_1\z_1&0&-x_1\-y_1&x_1&0
\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
x_2\y_2\z_2
\end{matrix}\right)$

• 结果为另一个向量，且一定与ab垂直。
• 如果 $\vec{x} \times \vec{y} = - \vec{z} $，为左手坐标系，OpenGL、unity都是左手坐标系。
• 叉乘没有交换律，但有分配律，可以数乘
• $\vec{x} \times \vec{x} = 0 $
• 作用
  • 判定左右
  • 如图，如何判断a和b的左右关系，右手定则，a x b = c，c为正，b在a左侧，b x a = -c，a在b右边
    
  • 判定内外
    如图，判断点P是否在abc內部？
    利用右手定则，AB x AP与BC x BP与CA x CP方向一致，所以点P在ABC内部。
    

矩阵

• 没有交换律，有分配律和结合律
• $(AB)^T=BTA^T$
• $A A^{-1} =A^{-1}A=I$
• $(AB)^{-1} =B^{-1}A$

MVP变换

• MVP变换：模型(model transformation)视图(view transformation)投影(projection transformation)变换
  • 就像拍照一样，先人站好（模型变换），再调整好相机，并确定往哪拍（视图变换），然后拍照（投影变换）。我们看到的都是三维世界的二维投影。
  • 模型变换
    • 仿射变换=线性变换+平移
  • 视图变换

模型变换（Model transformation）

二维变换

线性变换

$x^{'}=Mx$
不能表示平移

• 缩放变换
• 反射变换
• 切变
• 旋转

Scale缩放变换

• 均匀缩放
  $x^{'}=sx$
  $y^{'}=sy$
  或
  $\left( \begin{matrix}
  x^{'} \ y^{'}
  \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}s&0\0&s
  \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
  x\y
  \end{matrix}\right)$
• 非均匀缩放
  $\left( \begin{matrix}
  x^{'} \ y^{'}
  \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}s_x&0\0&s_y
  \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
  x\y
  \end{matrix}\right)$

反射变换（对称）

• 以y轴对称
  $\left( \begin{matrix}
  x^{'} \ y^{'}
  \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}-1&0\0&1
  \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
  x\y
  \end{matrix}\right)$

切变 Shear Matrix

图中，所有的$y$坐标都没有变化，所有的$x$坐标都变成$x+ay$
$\left( \begin{matrix}
x^{'} \ y^{'}
\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&a\0&1
\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
x\y
\end{matrix}\right)$

旋转Rotate

• 默认以(0,0)为原点，逆时针方向旋转
  
  $\left( \begin{matrix}
  x^{'} \ y^{'}
  \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}cos \theta&-sin\theta\sin\theta&cos\theta
  \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
  x\y
  \end{matrix}\right)$
• 如果旋转$-\theta $角度：
  $R_{-\theta}=\left(\begin{matrix}cos \theta&sin\theta\-sin\theta&cos\theta
  \end{matrix}\right)=R^{-1}=R_\theta ^T$
  如果一个矩阵的逆等于它的转置，那我们称这个矩阵为正交矩阵。
  很重要：旋转矩阵$R_\theta$是正交矩阵

重要概念：齐次坐标

• 作用
  • 实现一个统一模型

平移Translation

$x^{'}=x+t_x$
$y^{'}=y+t_y$
或
$\left( \begin{matrix}
x^{'} \ y^{'}
\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a&b\c&d
\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
x\y
\end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix}
t_x\t_y
\end{matrix}\right)$

• 平移不能表示成$x^{'}=Mx$，所以平移不是线性变换。
• 所以寻找一种统一的方法描述各种变换——引入齐次坐标。
• 首先将二维平面的点和向量升维
  • 二维平面的点$=(x,y,1)^T$
  • 二维平面向量$=(x,y,0)^T$
  • 此时平移：
    $\left( \begin{matrix}
    x^{'} \ y^{'}\z
    \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&0&t_x\0&1&t_y\0 &0& 1
    \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}
    x\y\1
    \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}
    x+t_x\y+t_y\1
    \end{matrix}\right)$
  • 由于向量具有平移不变性，无论如何平移方向都不改变，所以向量不需要这个1。
• 事实上，2D点表示为$\left( \begin{matrix}
  x\y\w
  \end{matrix} \right)$，当$w\neq0$时，有$\left( \begin{matrix}
  x/w\y/w\1
  \end{matrix} \right)$，所以1是这么来的，所以易推当两个点相减时，表示为两点的中点。

注意

• 先执行线性变换，再平移，从未引入齐次坐标的平移公式能看出来
• 顺序不同，结果不同，因为矩阵乘法没有交换律，即：
  $R_{45} \cdot T_{(1,0)} \neq T_{(1,0)} \cdot R_{45}$
• 矩阵执行，从右向左，如：先旋转45°，再向右平移一个单位：
  $T_{1,0} \cdot R_{45} \left( \begin{matrix} x\y\z\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}
  1&1&0\
  0&1&0\0&0&1
  \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
  cos45&-sin45&0\
  sin45&cos45&0\0&0&1
  \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
  x\y\1
  \end{matrix}\right)$

三维变换

线性变换

• 仍然引入齐次坐标:
  三维平面上的点$=\left( \begin{matrix}
  x,y,z,1
  \end{matrix} \right)^T$
  三维平面上的向量$=\left( \begin{matrix}
  x,y,z,0
  \end{matrix} \right)^T$
  同样有：
  $\left( \begin{matrix} x^{'}\y\z^{'}\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix}
  a&b&c&t_x\
  d&e&f&t_y\g&h&i&t_z\0&0&0&1
  \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}
  x\y\z\1
  \end{matrix}\right)$

旋转

$R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$
罗德里格斯公式Rodrigues：

旋转轴n，旋转角度α，默认轴从原点开始，方向为最标轴方向

视图变换（View / Camera transformation）

• 定义相机:

  • 位置：$\vec{e}$
  • 朝向/方向：$\hat{g}$
  • 上下方向：$\hat{t}$

• 约定俗成：标准位置:永远固定相机在原点，并往$-Z$方向看，以$+Y$为向上方向。这样方便

• 将任意位置相机挪到标准位置，如图所示：
  

  $M_{view}=R_{view}T_{view}$

  1. 先进行平移，把 $\vec{e}$ 平移到原点
     $T_{view}=\left( \begin{matrix}
     1&0&0&-x_e \
     0&1&0&-y_e \
     0&0&1&1
     \end{matrix} \right)$
  2. $\hat{g}$旋转至$-z$，$\hat{t}$旋转至$y$，但是不好转，所以可以考虑$y$旋转至$\hat{t}$，$-z$旋转至$\hat{g}$，有：
     $R^{-1}{view}= \left( \begin{matrix}
     x{\hat{g}}\times\hat{t} & x_t & x_{-g} & 0 \
     y_{\hat{g}}\times\hat{t} & y_t & y_{-g} & 0 \
     z_{\hat{g}}\times\hat{t} & z_t & z_{-g} & 0 \
     0 & 0 & 0 & 1
     \end{matrix} \right)$
  3. 由于旋转矩阵为正交矩阵，所以有：
     $R_{view}=(R^{-1}_{view})T=\left( \begin{matrix}
     x_{\hat{g}}\times\hat{t} & y_{\hat{g}}\times\hat{t} & z_{\hat{g}}\times\hat{t} &0 \
     x_t & y_t & z_t & 0 \
     x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \
     0 & 0 & 0 & 1 \
     \end{matrix} \right)$

Projection (投影) transformation

两种投影方式：正交、透视

• 左图正交投影：原模型中平行的线依然平行，不会出现近大远小，多用于工程制图
• 右图为透视投影，模型中平行的线现在不再平行，近大远小，更接近现实世界。
  

Orthographic (正交) projection

1. 平移至原点
2. 缩放到$[-1,1]^2$范围内
   如将一个任意位置的立方体$[l,r] \times [b,t] \times [f,n]$（$[左,右] \times [下,上] \times [近,远]$）透视为一个正则（规范、标准）立方体（canonical cube）$[-1,1]^3$，
   
   $M_{ortho}=\left( \begin{matrix}
   \frac{2}{r-l} & 0 & 0 &0 \
   0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \
   0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \
   0 & 0 & 0 & 1 \
   \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \
   0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \
   0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \
   0 & 0 & 0 &1 \
   \end{matrix} \right)$
   此时尚未考虑旋转，且模型会被拉伸，暂时按下不表。

Perspective (透视) projection

• 铺垫：齐次坐标中某个点$(x,y,z,1)^{T$可以乘任意一个数还表示它本身，所以可以乘$z$，有$(xz,yz,z}2,z)^{T$，都表示点$(x,y,z)}T$。
• 原理：从相机这个点延伸出一个四棱锥，并规定近远。先挤压 再正交
  
  侧面来看：
  
  挤压后有：
  $\left(\begin{matrix}
  x\y\z\1
  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
  nx/z\ny/z\unknow\1
  \end{matrix}\right)==\left(\begin{matrix}
  nx\ny\unknow\z
  \end{matrix}\right)$
  再往后完全没看懂，有空再说。

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