题目
题目描述
小a有一个n位的数字，但是它忘了各个位上的数是什么，现在请你来确定各个位上的数字，满足以下条件：
设第i位的数为ai，其中a1为最高位，an为最低位，K为给定的数字
- 不含前导0
- \(\sum_{i = 2}^n (a_i - a_{i - 1}) = K\)
请你求出满足条件的方案数
输入描述
两个整数N, K
若存在无解的情况，请输出0
输出描述
一个整数表示答案，对10^9 + 7取模
示例1
输入
2 3
输出
6
说明
满足条件的数有：14, 25, 36, 47, 58, 69
示例2
输入
2 -3
输出
7
说明
满足条件的数有：41, 52, 63, 74, 85, 96, 30
示例3
输入
4 3
输出
600
说明
可能的方案有：1234, 1334
示例4
输入
4 -3
输出
700
备注
对于30%的数据：n, |k| = 5
对于60%的数据：n, |k| ≤ 1000
对于100%的数据：n, |k| ≤ 10^13
保证n > 1
题解
知识点：组合数学。
简化一下条件：\(\displaystyle \sum_{i = 2}^n (a_i - a_{i - 1}) = a_n - a_1 = K\) ，其他位没有限制。
因为不能有前导 \(0\) ，因此 \(a_1 \in [1,9]\) ，同时 \(a_n = a_1 + K \in [0,9]\) ，因此 \(a_1 \in [-K,9-K]\) ，我们取交集即可。
时间复杂度 \(O(\log n)\)
空间复杂度 \(O(1)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int P = 1e9 + 7;
int qpow(int a, ll k) {
int ans = 1;
while (k) {
if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
k >>= 1;
a = 1LL * a * a % P;
}
return ans;
}
/// 快速幂，O(logk)，底数越大速度慢的越快
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
ll n, k;
cin >> n >> k;
ll l = max(-k, 1LL), r = min(9 - k, 9LL);
cout << max(r - l + 1, 0LL) * qpow(10, n - 2) % P << '\n';
return 0;
}