双摆杆运动模型。初始条件的微小差异,会导致千差万别的运动现象,这是混沌理论重要体现。主要考虑初始条件有两摆杆长度、质量、初始摆杆角度、重力加速度。
input:
% 参数定义 L1 = 1; % 第一根摆长 L2 = 0.5; % 第二根摆长 m1 = 1; % 第一根摆质量 m2 = 0.5; % 第二根摆质量 g = 9.81; % 重力加速度 % 初始状态定义 theta1 = pi/6; % 第一根摆角度 theta2 = 0; % 第二根摆角度 dtheta1 = 0; % 第一根摆角速度 dtheta2 = 0; % 第二根摆角速度 % 动画绘制 tspan = [0 30]; % 时间跨度 y0 = [theta1 dtheta1 theta2 dtheta2]; % 初始状态向量 [t, y] = ode45(@(t,y) pendulum2(t, y, L1, L2, m1, m2, g), tspan, y0); % 解微分方程 x1 = L1*sin(y(:,1)); % 第一根摆x坐标 y1 = -L1*cos(y(:,1)); % 第一根摆y坐标 x2 = L1*sin(y(:,1)) + L2*sin(y(:,3)); % 第二根摆x坐标 y2 = -L1*cos(y(:,1)) - L2*cos(y(:,3)); % 第二根摆y坐标 set(gcf, 'renderer', 'painters'); axis equal; % x、y轴比例相等 axis([-1.5*(L1+L2) 1.5*(L1+L2) -1.5*(L1+L2) 1.5]); % 设置坐标轴范围 hold on; x1_trace = zeros(length(t), 1); % 第一个摆的摆顶端x坐标 y1_trace = zeros(length(t), 1); % 第一个摆的摆顶端y坐标 x2_trace = zeros(length(t), 1); % 第二个摆的摆顶端x坐标 y2_trace = zeros(length(t), 1); % 第二个摆的摆顶端y坐标 % 绘制双摆动画,同时画出摆顶端轨迹连线 for k = 1:length(t)-1 plot([0 x1(k) x2(k)], [0 y1(k) y2(k)], 'linewidth', 0.5); % 绘制双摆图形 plot(x2(1:k), y2(1:k), '.', 'color', [0.8 0.05 0.1], 'markersize', 10); % 绘制尾迹 x1_trace(k+1) = L1*sin(y(k+1,1)); y1_trace(k+1) = -L1*cos(y(k+1,1)); x2_trace(k+1) = x1_trace(k+1) + L2*sin(y(k+1,3)); y2_trace(k+1) = y1_trace(k+1) - L2*cos(y(k+1,3)); plot([x1_trace(k) x1_trace(k+1)], [y1_trace(k) y1_trace(k+1)], 'linewidth', 1, 'color', 'blue'); % 第一个摆的轨迹线 plot([x2_trace(k) x2_trace(k+1)], [y2_trace(k) y2_trace(k+1)], 'linewidth', 1, 'color', 'green'); % 第二个摆的轨迹线 drawnow; % 实时显示 end % 微分方程定义 function dydt = pendulum2(t, y, L1, L2, m1, m2, g) dydt = zeros(4,1); % 向量拆分为各个分量 theta1 = y(1); dtheta1 = y(2); theta2 = y(3); dtheta2 = y(4); % 运动方程 % 第一个摆的力 F1 = -m1*L1*dtheta1^2*sin(theta1) - m1*g*cos(theta1)*sin(theta1); % 第二个摆的力 F2 = -m2*(L1*dtheta1^2*sin(theta1) + L2*dtheta2^2*sin(theta2)) - m2*g*cos(theta2)*sin(theta2); % 坐标加速度 d2theta1 = (F1 + m1*g*sin(theta1)*cos(theta1) + F2*cos(theta1-theta2))/(m1*L1^2 + m2*L1^2 - m2*L1*L2*cos(theta1-theta2)); d2theta2 = (F2*cos(theta1-theta2) + (m1+m2)*g*sin(theta1) + L1*dtheta1^2*sin(theta1)*cos(theta1-theta2) - (m1+m2)*L2*dtheta2^2*sin(theta1-theta2))/(L2^2*m2 + (m1+m2)*L1^2 - 2*L1*L2*m2*cos(theta1-theta2)); dydt(1) = dtheta1; % 第一个摆角速度 dydt(2) = d2theta1; % 第一个摆角加速度 dydt(3) = dtheta2; % 第二个摆角速度 dydt(4) = d2theta2; % 第二个摆角加速度 end
output:
初始条件:L1 = 1;L2 = 0.5;m1 = 1;m2 = 0.5;theta1 = pi/6;theta2 = 0;dtheta1 = 0;dtheta2 = 0;
output:
初始条件:第二摆杆长度是第一摆杆的一半,其余变量也不同。
output:
初始条件:第一摆杆长度、质量等于第一摆杆的,初始摆角不同。