ARC133D Range XOR
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非常好数位 dp。
思路
根据异或的前缀和,我们可以把式子化成这样。
\[\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r [s_j\oplus s_{i-1}==v]
\]
然后先去掉 \(l \leq r\) 的限制。
\[\sum_{i=l-1}^{r-1}\sum_{j=l}^r [s_j\oplus s_i==v]
\]
但是这个玩意没有对称性,很蛋疼,先把区间拉平。
\[\sum_{i=l-1}^r\sum_{j=l-1}^r [s_j\oplus s_i==v]
\]
然后考虑这个式子多算的部分,发现多算的只有 \(i=j\) 的情况和 \((i,j)\) 与 \((j,i)\) 算了 \(2\) 次。
把 \(i=j\) 的部分减去后再除以 \(2\) 就可以得到要的东西。
设
\[S(n,m)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m[s_i\oplus s_j==v]
\]
最后我们想要求的东西是
\[\sum_{i=l-1}^r\sum_{j=l-1}^r [s_j\oplus s_i==v]=S(r,r)-2S(l-2,r)+S(l-2,l-2)
\]
由于 \(S(r,l-2)=S(l-2,r)\)。
这样子还是很不友好,我们观察一下 \(s_i\) 的性质。
我们会发现
\[s_0=0\\
s_1=1\\
s_2=3\\
s_3=0\\
s_4=4\\
s_5=1\\
s_6=7\\
s_7=0\\
\cdots
\]
显然有规律:
\[s_i=\begin {cases}
i\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 0\ (\mod 4)\\
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 1\ (\mod 4)\\
i+1\ \ \ i \equiv 2\ (\mod 4)\\
0\ \ \ \ \ \ \ \ \ i \equiv 3\ (\mod 4)\\
\end{cases}
\]
可以使用数学归纳法证明,证明比较简单,留给读者自行思考。
如果 \(i\equiv 1,3(\mod 4)\) 或 \(j \equiv 1,3 (\mod 4)\) 的话,\(s_i\) 或 \(s_j\) 为常量,直接算就好。
我们先把后两位确定下来,接着删除末两位,消除模 \(4\) 的限制。
剩下的等价求
\[\sum_{i=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} \sum_{j=0}^{\lfloor m/4 \rfloor} [l \oplus r == \lfloor v/4 \rfloor]
\]
这里可以考虑先枚举最后两位,如果是 \(1\) 或 \(3\) 可以直接乘一个常量,如果是 \(2\) 或 \(0\) 可以用数位 dp 来解决这个问题。
时间复杂度大概是 \(O(\log n)\)。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=998244353;
const int maxn=65,kL=60;
ll l,r,v;
ll f[maxn][2][2];
ll kB[4]={0,1,3,0};
ll S(ll i,ll n,ll ln,ll m,ll lm,ll v)
{
if(i==-1) return 1;
ll &fs=f[i][ln][lm];
if(~fs) return fs;
fs=0;
for(ll kn=0,vn=(ln?(n>>i&1):1);kn<=vn;kn++)
{
for(ll km=0,vm=(lm?(m>>i&1):1);km<=vm;km++)
{
if((kn^km)==(v>>i&1)) fs=(fs+S(i-1,n,ln&&kn==vn,m,lm&&km==vm,v))%mod;
}
}
return fs;
}
ll bS(ll n,ll m,ll v)
{
memset(f,-1,sizeof(f));
return S(kL-1,n,1,m,1,v);
}
ll S1(ll n,ll m)
{
if(n<0||m<0) return 0;
ll s=0;
for(ll i=0;i<4;i++)
{
for(ll j=0;j<4;j++)
{
ll w=(v^kB[i]^kB[j]);
if(w&3) continue;
ll ci=(n>>2)-((n&3)<i);
ll cj=(m>>2)-((m&3)<j);
s=(s+bS((i&1)?0:ci,(j&1)?0:cj,w>>2)*((i&1)?(ci+1)%mod:1)%mod*((j&1)?(cj+1)%mod:1)%mod)%mod;
}
}
return s;
}
ll S2(ll l,ll r)
{
return ((S1(r,r)-2*S1(l-1,r)+S1(l-1,l-1))%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&v);
printf("%lld",(S2(l-1,r)-(v==0)*(r-l+2)%mod+mod)*(mod+1)/2%mod);
}