经典 01 背包题
- 首先介绍一下 01 背包，即一种 DP 问题，以放置物品为模型，每个物品只能放一次。其区分于完全背包（每个物品可以放无限多次），以及多重背包（每个物品有一个固定次数上限）。题中给出了 $ N $ 个砝码及每个砝码的质量，要求我们求出可以称出质量的种数。由此想到转化为 01 背包。
- 本题作为 01 背包的模板题之一，其思想不难（前提是你掌握了 01 背包写法）。但是有几个坑点：
上过初一的人都知道左物右码，这个题出的很不科学。题中重点是天平两边都能放砝码，显然，由于天平两边放砝码的质量不一定相等，所以要在较轻一侧放一个一定质量的物体使其平衡。所以显然地，设物体质量为 $ m_{thing} $，左盘砝码质量为 $ m_l $，右盘砝码质量为 $ m_r $，则有：
\[\left\{
\begin{array}{c}
m_{thing}+m_l=m_r (m_l\le m_r)\\
m_{thing}+m_r=m_l (m_l\ge m_r)
\end{array}
\right.
\]
即为:
\[ m_{thing}=|m_l-m_r|
\]
- 注意 dp 方程转移时要从大到小转移，否则存在越界。
代码构造
- 说了这么多，代码怎么写？有了以上结论，这变得容易了些：我们不妨设状态 $ f_{i,j} $ 表示枚举到第 $ i $ 个砝码时是否能够称出质量 $ j $。
但是为什么这么设呢？ 有些人摸不着头脑。我们不妨这么想：线性 DP 本身是要以线性方式转移状态，本题中可以看作枚举每个砝码，因此状态定义中存在砝码（即 $ i $）。本题是要求 情况总数 ，所以我们想到一个类似于桶标记的方法定义状态（即定义 $ j $ 质量）。 - 那怎么写双重循环呢？外层循环很显然是枚举每个砝码，即将 $ i $ 从1枚举到 $ n $，但内层循环呢？其实也很简单，因为我们之前定义了 $ j $ 为枚举质量，所以我们可以将 $ j $ 从1开始枚举，枚举到所有砝码质量总和（因为质量最大就是砝码质量总和）。
- 因此，易推得 $ f_{i,j} $ 如何转移:
- 如果枚举到当前的砝码不放，那么对于枚举到的每一个质量，其情况都与枚举到上个砝码时的情况相同，且此方案显然是否可行取决于上一个方案是否可行。 即 $ f_{i,j} = f_{i-1,j} $。
- 如果之前一个砝码也没放，现在枚举到的砝码是第一个放的（即当前枚举到的 $ j $ 就是当前枚举到的砝码质量），那么这种方案显然可行，因此 $ f_{i,j}=1(j=W_i) $。
- 另外的情况，我们需要分类讨论：
第一种情况： 将当前枚举到的砝码放置在右盘，右盘质量为 $ j $，那么显然还没有放置时右盘质量为 $ |j-W_i| $。为什么加绝对值，是因为上一个砝码有可能放在左盘或右盘（这里枚举 $ j $ 为右盘质量），所以只要上一个砝码能称出 $ |j-W_i| $ 的质量，当前砝码就可以称出 $ j $ 的质量。 即当 $ f_{i-1,|j-W_i|}=1 $ 时，$ f_{i,j} = 1 $。
第二种情况： 将当前枚举的砝码放在左盘，那么类似地，当 $ f_{i-1,j+W_i}=1 \(时，\) f_{i,j}=1 $。
因此，本题就很清楚了。至于具体代码……相信您可以凭自己实力写出来！
求过（小声）
- Update_2023.1.29 增加了描述；
- Update_2023.2.1 更改 $ \LaTeX $ 的排版。
- Update_2023.2.2 在数字和汉字间加空格（笑）。