统计基础

中心极限定理（Central Limit Theorem）

不知道为啥我看到的中心极限定理有两个版本的表述
（后来发现确实是有两个版本）

第一个版本说：某城市的工资分布是个很奇怪的分布
但如果对该城市进行抽样，每次抽20个人求平均值，抽100次，那么这100个平均值的分布就会是正态分布。

参考视频：
中心极限定理（central limit theorem）-统计学
通俗统计学原理入门4 均值抽样分布 中心极限定理

ChatGPT：中心极限定理指出，当从总体（Population）中进行独立随机抽样，并且样本容量（sample size）足够大时，样本均值的分布将接近正态分布，无论总体分布是什么形状。
关于100个平均值的平均值（也称为抽样分布的平均值），它通常被称为抽样均值的均值（mean of sample means）。根据中心极限定理，该抽样均值的均值将趋近于总体的均值。换句话说，通过对多个样本进行抽样并计算平均值，这些样本平均值的平均值将逐渐接近总体的真实均值。

若每次抽样取50个人求平均值，抽100次，这100个平均值的分布仍然会是正态分布，而且mean of sample means还是一样。不同的是，这次的标准差（standard deviation）更小（数据更集中，正态分布的尖更尖）

假设总体工资的标准差为\(\sigma\)，抽样检测得到的“平均值的分布的标准差”（即标准误——standard error，见：通俗理解标准差和标准误)为\(\sigma'\)，每次抽样的样本容量为n，则有如下关系：

第一次抽样每次20人，则$ \sigma_1 = \frac{\sigma}{\sqrt{20}} $
第二次抽样每次100人，则$ \sigma_2 = \frac{\sigma}{\sqrt{100}} $
一般来说， $ \sigma $ 不知道，也可以用某次样本的标准差 \(s\)来代替。
（个人理解：但这样的话应该就不满足正态分布了，而是满足t分布，但只要样本容量足够大，就可以近似认为是正态分布。参考视频：十分钟理解t分布和t检验）

假设检验

已知新冠患者自愈的平均时间是72小时，标准差是8小时。
现在对100人进行试验，发现平均的痊愈时间是69.6小时。
你认为该药物是否有效？
H0：药物无效
H1：药物有效

假设：H0成立
what to do：在H0成立的前提下，计算“出现69.6小时的概率”

因为抽样得到的数据满足正态分布（根据中心极限定理），而且样本平均值也应该是72小时。此时只需看看69.6小时在该正态分布中出现的概率即可。

根据计算得到：在H0成立时，出现69.6小时或更极端的概率是0.3%（P值），我有99.7%的信心拒绝H0。

研究人员的预设：99.5%的信心拒绝H0（置信水平confidence level），（0.5%显著性水平significance level）

参考视频
关于假设检验的一切 - 统计学

t分布

参考视频：
通俗统计学原理入门6 关键一步 从均值抽样分布到t分布
t分布（t distribution）- 统计学

t分布根据我的个人理解，就是中心极限定理，但是把总体的标准差换成样本的标准差。

t检验

t检验我的理解就是一个标准化的过程。不然每次都要去根据标准误算概率，会很蛋疼。

方差分析（ANOVA）

参考视频：
单因素方差分析(上）/ANOVA/什么是方差分析、方差分析的思路

方差分析检验什么——n个分类，它们的某一特征值的平均值，是否有显著差别。

n个分类，比如说B站视频可以分为生活区、鬼畜区、搞笑区……某一特征值，比如说视频播放量。所以方差分析可以分析每个分区的播放量平均值是否相等。

其实就是比较n个样本平均值是否相等，n = 2时直接用t检验即可；n>2的话就用方差分析了。

检验方式：假设检验

方差分析的思路

数据整体波动 = 组内波动 + 组间波动

数据整体波动（sum of squares total，SST）：B站所有视频播放量的离散程度；

组内波动（sum of squares within，SSW）：搞笑区视频播放量的离散程度；

组间波动（sum of squares between，SSB）：搞笑区、鬼畜区、生活区……播放量的平均值的离散程度；

SSW越大，SSB越小，各组均值相等的可能性越大；
SSW越小，SSB越大，各组均值相等的可能性越小；

方差分析中的计算

参考视频：
单因素方差分析(下)/ANOVA/方差分析的计算、使用Excel和Stata进行方差分析

第5章 参数估计

5.1 参数估计的原理

点估计与区间估计

评量估计量的标准

1. 无偏性（unbiasedness）：
   估计量的抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即$E(\hat{\theta}) = \theta $ （假设\(\theta\)为被估计的总体参数）

由统计量的抽样分布可知，\(E(\bar{x})=\mu, E(p)=\pi, E(s^2)=\sigma^2\)，因此\(\bar{x}、p、s^2\)分别是总体均值\(\mu\)、总体比例\(\pi\)、总体方差\(\sigma^2\)的无偏估计量。

用python进行无偏性模拟：

import numpy as np

# 从均值为50，方差为100的正态总体中，随机抽取10000个样本量为10的样本
# 分别计算出10000个样本均值的均值、样本中位数的均值、样本方差的均值
x, m, v = [], [], []
n = 10

for i in range(1000):
    # loc表示均值，scale表示标准差，size表示生成随机数数量
    d = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=n)
    x.append(np.mean(d))
    m.append(np.median(d))
    # np.var计算方差，ddof表示自由度，默认为0，表示总体方差；ddof=1时，表示样本方差；
    v.append(np.var(d, ddof=1))

print(f"样本均值的均值:{np.mean(x):.4f}\n样本中位数的均值:{np.mean(m):.4f}\n样本方差的均值:{np.mean(v):.4f}")

结果为：

样本均值的均值:49.9230
样本中位数的均值:49.9335
样本方差的均值:99.0639

2. 有效性（efficiency）：
   同一总体参数的多个无偏估计量，有更小的方差的估计量更有效。

用python进行有效性模拟：

import numpy as np
# 从均值为0，方差为1的正态总体中，随机抽取10000个样本量为10的样本
# 分别计算出10000个样本均值的方差、样本中位数的方差

x, m = [], []
n = 10
for i in range(10000):
    d = np.random.normal(size=n)
    x.append(np.mean(d))
    m.append(np.median(d))

print(f"样本均值的方差:{np.var(x, ddof=1):.4f}\n样本中位数的方差:{np.var(m, ddof=1):.4f}")

结果为：

样本均值的方差:0.0986
样本中位数的方差:0.1366

绘制样本均值和样本中位数分布的直方图

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def plot_dis(df, ax, xlabel):
    df.plot(bins=20, kind='hist', density=True, ax=ax, legend=False)
    df.plot(kind='density', linewidth=2, ax=ax, legend=False)
    ax.set_ylim(0, 1.3)
    ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
    ax.set_xlabel(xlabel)
    ax.set_title(xlabel + '的分布')

plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))
ax1 = plt.subplot(121)
plot_dis(pd.DataFrame(x), ax1, '样本均值')
ax2 = plt.subplot(122)
plot_dis(pd.DataFrame(m), ax2, '样本中位数')

plt.show()

3. 一致性（consistency）：
   随着样本量的增大，统计量收敛于所估计的总体的参数。

样本均值即为总体均值的一个一致估计量。（其实就是随着样本容量增大，样本均值的标准误越来越小——趋向于0——）
（因为\(\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}\)）

用python模拟一致性

import pandas as pd; import numpy as np
# 设置随机种子以再现结果
np.random.seed(2020)
# 生成了一个包含 1000 个随机数的数组 N
N = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=1000)
mu = np.mean(N)

# np.random.choice() 函数用于从给定的数组中进行随机抽样。
# 它接受三个参数：抽样的数据源（这里是数组 N）、抽样的数量（这里是 10）、是否允许重复抽样（这里设置为 replace=False 表示不允许重复抽样）。
xbar10 = np.mean(np.random.choice(N, 10, replace=False))
xbar100 = np.mean(np.random.choice(N, 100, replace=False))
xbar500 = np.mean(np.random.choice(N, 500, replace=False))
xbar900 = np.mean(np.random.choice(N, 900, replace=False))

# .T表示转置
aver = pd.DataFrame([mu, xbar10, xbar100, xbar500, xbar900],
                   ['总体均值', 'xbar10', 'xbar100', 'xbar500', 'xbar900']).T

print(aver)

# 样本均值与总体均值mu的差值d
d = pd.DataFrame([{'d10':(xbar10-mu), 'd100': (xbar100-mu), 'd500': (xbar500-mu), 'd900': (xbar900-mu)}])
print(d)

结果为：

   总体均值    xbar10    xbar100    xbar500    xbar900
0  49.665586  48.45996  50.165167  49.568964  49.636309
     d10      d100      d500      d900
0 -1.205626  0.499581 -0.096622 -0.029277

5.2 总体均值的区间估计

研究一个总体，推断总体均值\(\mu\)的统计量就是样本均值\(\bar{x}\)。
研究两个总体时，所关心的参数主要是两个总体均值之差\((\mu_1 - \mu_2)\)，用于推断的统计量则是两个样本的均值之差$ (\bar{x_1} - \bar{x_2})$。

5.2.1一个总体均值的估计

要分大样本\(n \ge 30\) 和小样本$ n < 30 $ 两种情况讨论。
不管哪种情况，总体均值的置信区间都是由样本均值加减估计误差得到的。
估计误差由（1）点估计量的标准误；（2）估计时所要求的置信水平为\((1-\alpha)\)时统计量分布两侧面积各为\(\alpha/2\)时的分位数值。

总体均值在\((1-\alpha)\)置信水平下的置信区间可一般性地表达为：

1. 大样本的估计

由中心极限定理，样本均值\(\bar{x}\) 经过标准化后服从标准正态分布，即

当总体标准差\(\sigma\)未知时，可以用样本标准差\(s\)代替。

当总体标准差\(\sigma\)已知时，总体均值\(\mu\)在\((1-\alpha)\)置信水平下的置信区间为：

当总体标准差\(\sigma\)未知时，总体均值\(\mu\)在\((1-\alpha)\)置信水平下的置信区间为：

式中$ \bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$为置信下限；

$ \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$为置信上限；

\(\alpha\)为事先确定的一个概率值，它是总体均值不包含在置信区间内的概率；

\((1-\alpha)\)为置信水平；

\(z_{\alpha/2}\)为标准正态分布两侧面积各位\(\alpha/2\)时的\(z\)值；

\(z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)为估计误差。

用python模拟：

import pandas as pd
import numpy as np
import scipy.stats as st

# 40辆车每百公里的耗油量数据
example5_1 = pd.read_csv('D:/DataDisk/307923JiaJunPing_data_analysis/example/chap05/example5_1.csv', encoding='gbk')

# scipy.stats.norm.interval 函数的作用是根据给定的置信水平和正态分布的均值与标准差，计算出对应的置信区间。
# 置信区间表示了对总体参数（例如均值）的估计范围，通常以置信水平的形式给出（例如 95% 置信水平）。
# scipy.stats.sem(arr，axis = 0，ddof = 0)函数用于计算输入数据平均值的标准误差。（应该就是标准差吧）
int = st.norm.interval(0.90, loc=np.mean(example5_1), scale=st.sem(example5_1))
# 以数组形式返回置信区间
int_4 = np.round(int, 4)

print(f"置信区间为：{int_4}")
print(f"耗油量平均值为：{np.mean(example5_1)}")
print(f"耗油量标准差为：{st.sem(example5_1)}")

结果为：

置信区间为：[[7.8359]
 [8.0991]]
耗油量平均值为：7.967500000000001
耗油量标准差为：[0.08001502]

2. 小样本的估计

小样本情形下，需要假设总体服从正态分布。

在估计之前首先应对总体的正态性进行检验，可以用直方图、茎叶图、P-P图或Q-Q图进行初步评估，也可以使用Shapiro检验和K-S检验等，具体内容见第6章。

• 若正态总体的标准差已知，样本均值服从正态分布：

（这种情形前面已经讨论过了）

• 若正态总体的标准差未知，用样本标准差代替总体标准差，样本均值服从t分布：

在\((1-\alpha)\)置信水平下，总体均值的置信区间为：

\[\bar{x} \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}} \]

import pandas as pd
import numpy as np
import scipy.stats as st

# 25袋食品重量的数据
example5_2 = pd.read_csv('D:/DataDisk/307923JiaJunPing_data_analysis/example/chap05/example5_2.csv', encoding='gbk')

# 第二个参数是自由度
int = st.t.interval(0.95, len(example5_2)-1, loc=np.mean(example5_2), scale=st.sem(example5_2))

int_4 = np.round(int, 4)

print(f"食品平均质量的置信区间为：{int_4}")
print(f"食品重量平均值为：{np.mean(example5_2)}")
print(f"食品重量标准差为：{st.sem(example5_2)}")

结果为：

食品平均质量的置信区间为：[[101.3748]
 [109.3452]]
食品重量平均值为：105.36000000000001
食品重量标准差为：[1.93089789]

5.2.2 两个总体均值差的估计

第6章 假设检验

反转了，贾俊平主编的数据分析基础——基于python的实现一书中，又说大样本的情况下，不知道总体均值也可以用样本均值代替，因为样本是大样本。

6.2 总体均值的检验

6.2.1 一个总体均值的检验

1. 大样本的检验

在大样本（n>30）的情形下，样本均值的抽样分布服从正态分布，其标准误为$ \sigma/\sqrt{n} $ ；若总体均值为\(\mu_0\)，总体方差\(\sigma^2\)已知时，可以进行z检验：

当总体方差\(\sigma^2\)未知时，可以用样本方差\(s^2\)来代替：

【例6-3】城市过去每立方米空气中PM2.5的均值是\(81\mu g/m^3\)。根据最近的40次检验（example6_3.csv），能否认为城市的PM2.5均值显著低于\(81\mu g/m^3\)？

• 假设（这是单侧检验）：
  \(H_0: \mu \ge 81\)
  \(H_1: \mu < 81\)

• 检验（用python）

import pandas as pd
from statsmodels.stats.weightstats import ztest

example6_3 = pd.read_csv('path/to/data/example6_3.csv', encoding="gbk")
z, p_value = ztest(x1=example6_3['PM2.5值'], value=81, alternative='smaller')

print(f"样本均值 = {example6_3['PM2.5值'].mean():.2f}, z统计量值 = {z:.4f}, p值 = {p_value:.4f}")

输出结果为：

样本均值 = 79.55, z统计量值 = -1.1856, p值 = 0.1179

由于\(P>0.05\)，相信原假设。

2. 小样本的检验

在小样本（n<30）的情形下，首先假定总体服从正态分布。

所以如果总体不服从正态分布呢？书里没说。留个坑。

LOG-23-10-30: 看了贾俊平的《统计学》，里面说的是，小样本的情形下，如果总体方差已知，那么样本均值服从正态分布，用z检验；如果总体方差未知，用样本方差代替，则用t检验。

• 当总体方差\(\sigma^2\)已知时，样本均值服从正态分布，可以用z检验。

• 当总体方差未知时，用样本方差\(s^2\)代替\(\sigma^2\)，此时样本均值$ \sim t(n-1) $，可以用t检验。

效应量：表示样本均值与假设的总体均值相差多少个标准差。

在单样本t检验中通常使用Cohen的\(d\) 统计量来度量：

根据Cohen（1988）提出的标准：

小效应量	中效应量	大效应量
0.20	0.50	0.80

$ d > 0.80 $时，为大的效应量，表示相差0.8个标准差。

【例6-4】砖头的厚度要求为5cm。现抽取20块砖进行检验。
假定砖的厚度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验砖的厚度是否合格。

• 假设：
  \(H_0: \mu = 5\)
  \(H_1: \mu \ne 5\)

• （用python）检验：

import pandas as pd
from scipy.stats import ttest_1samp

example6_4 = pd.read_csv('path/to/data/example6_4.csv', encoding="gbk")

t, p_value = ttest_1samp(a=example6_4['厚度'], popmean=5)  # popmean为假设的总体均值
print(f"样本均值 = {example6_4['厚度'].mean():.2f}, t统计量值 = {t:.4f}, p值 = {p_value:.4g}")

输出结果为：

样本均值 = 4.80, t统计量值 = -5.6273, p值 = 1.998e-05

\(P<0.05\) 放弃原假设，有证据显示砖头厚度不合格。

• （用python）计算效应量：

example6_4 = pd.read_csv('path/to/data/example6_4.csv', encoding="gbk")
mu = 5
xbar = example6_4['厚度'].mean()
sd = example6_4['厚度'].std()
d = abs(xbar-mu)/sd
print(f"效应量d={d:.4f}")

输出结果为：

效应量d=1.2583

表明样本的砖头平均厚度与标准厚度相差1.2583个标准差，根据Cohen准则，属于比较大的效应量。

6.2.2 两个总体均值差的检验

根据获得样本的方式不同，分为独立样本和配对样本两种情形。

1. 独立大样本检验

在大样本情形下，两个样本均值之差 $ \bar{x}_1 - \bar{x}_2 $ 的抽样分布近似服从正态分布。

故可用z检验。

• 若两个总体的方差\(\sigma_1\)、\(\sigma_2\)已知，则：

• 若两个总体的方差\(\sigma_1\)、\(\sigma_2\)未知，用样本方差$ s_1^2 \(、\)s_2^2$ 代替，则：

用python模拟：

import pandas as pd
from statsmodels.stats.weightstats import ztest

# 分析男女学生上网时间是否有差异
# 原假设：男女学生上网时间没有差异，即μ1 - μ2 = 0
# 文件为男生上网时间（第一列）和女生上网时间（第二列）
example6_5 = pd.read_csv('path\to\data\chap06\example6_5.csv', encoding="gbk")

# alternative='two-sided'表示双侧检验
z, p_value = ztest(x1=example6_5['男生上网时间'], x2=example6_5['女生上网时间'], alternative='two-sided')
print(f"男生平均上网时间为 = {example6_5['男生上网时间'].mean():.4f}\
\n女生平均上网时间为 = {example6_5['女生上网时间'].mean():.4f}\
\nz统计值 = {z:.4f} \
\np值 = {p_value:.4f}")

输出结果为：

男生平均上网时间为 = 3.0583
女生平均上网时间为 = 2.8306
z统计值 = 1.1188
p值 = 0.2632

表明无证据显示男女学生上网的平均时间有显著差异。

2. 独立小样本的检验

首先假设两个总体均服从正态分布。

分三种情形：

1. 两个正态总体方差已知——无论样本大小，两个样本均值之差的抽样分布都服从正态分布。（上文已讨论过检验方法）

2. 两个正态总体的方差未知，但已知\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\)。

因为两个总体的方差相等，故可以把两个样本的方差合并起来，以估计总体方差。

这个被合并起来的估计量叫做总体方差的合并估计量（pooled variance/pooled sample variance），记为\(s_p^2\)。

\[\frac{s_p^2 = (n_1 - 1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2 -2} \]

（计算出来的值将介于\(s_1^2\)和\(s_2^2\)之间，但会偏向于样本容量较大的那个样本方差）

这时，两个样本均值之差经标准化后服从自由度为\((n_1+n_2-2)\) 的t分布，故采用t检验：

\[t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} - \frac{1}{n_2}}} \]

参考视频：Pooled-Variance t Tests and Confidence Intervals: Introduction

3. 两个正态总体的方差未知且不相等时，两个样本均值之差经标准化后近似服从自由度为\(v\)的t分布。

\[t = \frac{(\bar{x}_1 -\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} - \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

\(t\)的自由度\(v\)为：

\[v = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2})^2}{ \frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \]

用python模拟：

import pandas as pd
from statsmodels.stats.weightstats import ttest_ind


# 分析两家企业生产的灯泡的平均使用寿命是否有显著差异
# 文件为甲企业（第一列）和乙企业（第二列）数据
example6_6 = pd.read_csv('path\to\data\chap06\example6_6.csv', encoding="gbk")

xbar1 = example6_6['甲企业'].mean()
xbar2 = example6_6['乙企业'].mean()

# （1）假设总体方差相等
# pooled表示总体方差相等，unequal为不等
t, p_value, df = ttest_ind(x1=example6_6['甲企业'], x2=example6_6['乙企业'], 
                           alternative='two-sided',
                           usevar='pooled')
print("==============（1）假设总体方差相等==============")
print(f"甲企业的灯泡平均寿命 {xbar1}\
\n乙企业的灯泡平均寿命 = {xbar2}\
\nt统计值 = {t:.6f} \
\n自由度 = {df} \
\np值 = {p_value:.6f}")

# （2）假设总体方差不等

t, p_value, df = ttest_ind(x1=example6_6['甲企业'], x2=example6_6['乙企业'], 
                           alternative='two-sided',
                           usevar='unequal')
print("==============（2）假设总体方差不等==============")
print(f"甲企业的灯泡平均寿命 {xbar1}\
\n乙企业的灯泡平均寿命 = {xbar2}\
\nt统计值 = {t:.6f} \
\n自由度 = {df:.4f} \
\np值 = {p_value:.6f}")

结果为：

==============（1）假设总体方差相等==============
甲企业的灯泡平均寿命 8487.5
乙企业的灯泡平均寿命 = 8166.0
t统计值 = 3.494270
自由度 = 38.0
p值 = 0.001225
==============（2）假设总体方差不等==============
甲企业的灯泡平均寿命 8487.5
乙企业的灯泡平均寿命 = 8166.0
t统计值 = 3.494270
自由度 = 33.6826
p值 = 0.001353

结果表明两家企业的灯泡平均寿命有显著区别。

差别的程度由效应量给出。

独立样本t检验的效应量的估计通常由Cohen的d统计量给出，计算公式为：

# 承接前文代码，沿用t值
n1 = len(example6_6['甲企业'])
n2 = len(example6_6['乙企业'])

d = abs(t)*np.sqrt((n1+n2)/(n1*n2))

print(f"效应量d={d:.6f}")

效应量d=1.104985

3. 配对样本的检验

假设两个总体配对的差值服从正态分布，而且配对差是从差值总体中随机抽取的。

• 对于大样本情形，配对差值服从正态分布，进行z检验。

• 对于小样本情形，配对差值服从t分布，自由度为n-1，进行t检验。

\(\bar{d}\) 为配对差值的均值；\(s_d\)为配对差值的标准差。

用python模拟：

import pandas as pd
from scipy.stats import ttest_rel

# 分析消费者对两款饮料的评分是否有差异
# H0：评分无差异，即μ1 - μ2 = 0 
# 文件为旧款饮料（第一列）和新款饮料（第二列）的评分，样本量为10
example6_7 = pd.read_csv('path\to\data\chap06\example6_7.csv', encoding="gbk")

dbar = (example6_7['旧款饮料'] - example6_7['新款饮料']).mean()

t, p_value = ttest_rel(a = example6_7['旧款饮料'], b=example6_7['新款饮料'])

print(f"配对样本差值的均值 {dbar}\
\nt统计值 = {t:.6f} \
\np值 = {p_value:.6g}")

配对样本差值的均值 -1.3
t统计值 = -2.750848
p值 = 0.0224457

结果表明有显著差异。

计算效应量：

n = example6_7.shape[0]

d = abs(t)*np.sqrt(n)

print(f"效应量d={d:.6f}")

效应量d=8.698945

第8章 方差分析

8.1 方差分析的原理

原理还是看前面《统计基础》的笔记吧，这里列一些专用名词。

例子：不同视频分区（如：生活区、舞蹈区、鬼畜区、学习区、游戏区）的播放量是否有显著区别。

8.2 单因子方差分析（one-way analysis of variance)

数学模型

设因子A有I个处理，则

\(y_{ij}\)为第\(i\)个处理中的第\(j\)个观测值；

\(\mu_i\)为第\(i\)个处理的平均值；

\(\epsilon_{ij}\)为第\(i\)个处理的第\(j\)个观测值的随机误差。

设全部观测数据的总均值为\(\mu\)，第i个处理的处理效应为\(\alpha_i = \mu_i-\mu\)，则前面的式子可写为：

• 假设：
  $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \dots =\alpha_I = 0 \(（不同处理没有显著效应） \)H_1: \(至少有一个\)\alpha_i \ne 0 $（不同处理有显著效应）

等价的假设形式为：
$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots =\mu_I $
$H_1: \mu_i $们不全相等

单因子方差分析表：

n为观测值个数——B站视频的个数；

\(n_i\)为第i个处理的样本容量——舞蹈区的视频总数；

\(\bar{y_i}\)为第i个处理的样本均值——舞蹈区视频的播放量的平均值；

\(\bar{\bar{y}}\) 是所有视频的播放量的平均值；

求出F值后，就可以进行F检验——计算P值。

用python模拟

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

# 文件为3个不同季度的CPU性能测试得分表
example8_1 = pd.read_csv('path/to/data/example8_1.csv', encoding='gbk')

# 这行的作用就是把数据列表的列名给换了
# 第一列列名换成season，第二列……
example8_1.columns = ['season', 'value']

# 这段代码是在使用OLS（Ordinary Least Squares，普通最小二乘法）进行线性回归分析。
# 首先，'value~C(season)' 是一个公式字符串，它指定了线性回归模型的形式。
# 具体来说，它表示依据 'value' 列对 'season' 列进行回归分析。
# C(season) 表示将 'season' 列视为分类变量（categorical variable），而不是连续变量。
model = ols('value~C(season)', example8_1[['season', 'value']]).fit()

# 对线性回归模型进行方差分析
a = anova_lm(model)
print(a)

输出结果为

             df        sum_sq       mean_sq          F        PR(>F)
C(season)   2.0  4.590439e+12  2.295219e+12  49.708864  4.007688e-15
Residual   87.0  4.017072e+12  4.617324e+10        NaN           NaN

检验的P值（PR(>F)）= 4.007688e-15<0.05，舍弃假设H0，意味着评测时间对CPU性能有影响

至于在代码中为什么要先做线性回归分析，再进行方差分析，还没搞清楚。

搞清楚了，好像是因为，方差分析其实就是一种特殊的广义线性回归分析（参考：Introduction to general linear models

第9章 一元线性回归

9.1 确定变量间的关系

1. Pearson相关系数

相关系数（correlation coefficient）：度量两个变量之间线性关系强度的统计量。记为\(r\)，则

\(r = 1\)表示完全正相关，\(r = -1\)表示完全负相关，$ r = 0 $表示不存在线性关系（但不代表不存在其他关系）

2. 相关系数的检验

总体相关系数\(\rho\)，通常是未知的，需用样本相关系数\(r\)进行估计。

验证相关系数\(r\)的可靠性：t检验方法（R.A.Fisher提出）

1. 提出假设：

\(H_0: \rho = 0（两个标量的线性关系不显著）\)
\(H_1: \rho \ne 0（两个标量的线性关系不显著）\)

2. 计算t值：

n是什么？留个坑

3. 决策：
   求出\(P\)值，若$P < \alpha \(，拒绝\)H_0$，表示总体的两个变量之间线性关系显著。

用python检验：

import pandas as pd
from scipy.stats import pearsonr

example9_1 = pd.read_csv('path/to/data/example9_1.csv', encoding='gbk')
corr, p_value = pearsonr(example9_1['居民家庭消费支出'], example9_1['居民家庭总收入'])
# pearsonr(x,y)
print(corr, p_value)

9.2 模型估计与检验

回归模型与回归方程

回归模型：

回归方程：

？？？一模一样？，没有帽子的回归模型表示你觉得总体就是这么个情况，其中的\(\beta\)是真实确定有这么个值，只是你不知道大小；有帽子的回归方程表示这是你通过样本信息推测出来的公式，带帽子的值表示都是你根据样本信息推测出来的值。

\(\epsilon\)表示误差项，即不能为模型所解释的偏差。

参数估计

最小二乘估计（least squares estimation）：

用python进行参数估计：

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols

example9_1 = pd.read_csv('path/to/data/example9_1.csv', encoding='gbk')
model = ols("居民家庭消费支出~居民家庭总收入", data=example9_1).fit()
# old("y~x", data=data).fit()

print(model.summary())

得到输出结果：

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:       居民家庭消费支出   R-squared:                       0.980
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.980
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     2890.
Date:                Sat, 21 Oct 2023   Prob (F-statistic):           3.52e-51
Time:                        18:04:32   Log-Likelihood:                -514.68
No. Observations:                  60   AIC:                             1033.
Df Residuals:                      58   BIC:                             1038.
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept    1.894e+04    643.529     29.436      0.000    1.77e+04    2.02e+04
居民家庭总收入  0.4725      0.009     53.758      0.000       0.455       0.490
==============================================================================
Omnibus:                        6.328   Durbin-Watson:                   2.139
Prob(Omnibus):                  0.042   Jarque-Bera (JB):                2.477
Skew:                           0.102   Prob(JB):                        0.290
Kurtosis:                       2.026   Cond. No.                     2.79e+05
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 2.79e+05. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.

估计方程为：

模型的拟合优度（goodness of fit）

拟合优度：回归直线与观测点的接近程度
拟合优度的度量方式：决定系数（coefficient of determination）

1. 决定系数

每个观测值的误差都可以分解为两个部分：$ y_i - \bar{y} = (y_i - \hat{y_i})+(\hat{y_i} - \bar{y})（画图特好理解）$

两边平方，并对所有n个点求和，有：

可以证明：\(\sum{(y_i-\hat{y_i})(\hat{y_i}-\bar{y})} = 0\)，因此有

等式左边为总平方和SST（total sum of squares）；

右边第一项为残差平方和SSE（residual sum of squares），是不能被回归方程解释的误差部分；

右边第二项为回归平方和SSR（regression sum of squares），此误差是由x的变化引起的，是可以被回归方程解释的部分；

SST = SSE + SSR

决定系数：

若所有观测点都落在回归直线上，\(SSR=0\)，\(R^2=1\)，模型是完全拟合的。

\(R^2 \rightarrow 1\) 拟合得越好
\(R^2 \rightarrow 0\) 拟合得越差

在前面的代码示例中，R-squares=0.938=93.8%表示在居民家庭消费支出取值的总误差中，有93.8%可以由居民家庭消费支出与家庭总收入之间的线性关系来解释。

2. 残差的标准误（residual standard error）

残差的标准误（\(s_e\)）是SSE的均方根：

其中，k为自变量的个数，在一元线性回归中，\(k = 1, n-k-1 = n-2\)

\(s_e\)反映了\(y_i\)在回归直线周围的离散程度。

模型的显著性检验

什么？前面不是已经做过Pearson相关系数检验过线性关系了吗？
问了ChatGPT，大概意思是说，Pearson相关系数检验告诉我们变量之间有线性关系，而接下来的F检验和t检验告诉我们这个模型拟合的好坏。

[Log-2023-11-1]：我现在的理解是，线性关系检验是检验y与{xi}的线性关系显不显著，而回归系数的检验是检验y与具体每个xi的线性关系显不显著。

1. 线性关系检验（F检验）

F检验 检验因变量y和自变量x之间的线性关系是否显著（或者说，它们之间能否用\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)来表示。）

MSR：回归均方
MSE：残差均方

检验步骤：

• 提出假设：
  $ H_0:\beta_1=0（两个变量之间的线性关系不显著）$
  $ H_1:\beta_1 \ne 0（两个变量之间的线性关系显著）$

• 计算F

• 求F的P值，若 $ P < \alpha $，则拒绝 $ H_0 $

若H0成立，\(MSR/MSE \rightarrow 1\)；
若H0不成立，\(MSR/MSE \rightarrow \inf\)；
MSR/MSE较大时拒绝H0，继而断定x和y之间线性关系显著；

2. 回归系数的检验和判断（t检验）

t检验 检验自变量对因变量的影响是否显著。

在一元线性回归中，由于只有一个自变量，回归系数检验与线性关系检验是等价的
（在多元线性回归中不再等价）

检验步骤：

• 假设：
  \(H_0: \beta_1 = 0 （自变量对因变量的影响不显著）\)
  \(H_1: \beta_1 \ne 0 （自变量对因变量的影响显著）\)

检验统计量的构造是以回归系数\(\beta_1\)的抽样分布为基础的（这句看不懂，所以照抄下来）

统计证明，\(\hat{\beta_1}\)服从正态分布，期望值为\(E(\hat{\beta_1})=\beta_1\)，标准误的估计量为：

\[s_{\hat{\beta_1}} = \frac{s_e}{\sqrt{\sum{x_i^2 - \frac{1}{n}(x_i)^2}}} \]

（\(s_e\)为残差标准误，在前文中有公式）

将回归系数标准化，即可得到检验\(\beta_1\)的统计量t。

在H0成立的条件下，\(\hat{\beta_1}-\beta_1 = \hat{\beta_1}\)

故：

\[t = \frac{\hat{\beta_1}}{s_{\hat{\beta_1}}} \sim t(n-2) \]

• 计算t值

• 求t的P值，若 $ P < \alpha $ ，则拒绝 $ H_0 $ ，表示x对y的影响显著。

第10章 多元线性回归

10.1 多元线性回归模型及其参数估计

回归方程与回归模型

参数的最小二乘估计

使残差平方和最小，即：

得到求解$ \hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}, \dots, \hat{\beta_k} $的标准方程组为：

用python估计：

# 多元线性回归
import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols

example10_1 = pd.read_csv('path/to/data/example10_1.csv', encoding='gbk')
model = ols("y~x1+x2+x3+x4", data=example10_1).fit()
# y为居民家庭消费支出；x1为居民家庭总收入；
# x2为受访者年龄；x3为受访者全年总收入；x4为家庭常住人口；
print(model.summary())

得到输出结果：

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                      y   R-squared:                       0.985
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.984
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     888.2
Date:                Sat, 21 Oct 2023   Prob (F-statistic):           3.05e-49
Time:                        18:52:46   Log-Likelihood:                -507.03
No. Observations:                  60   AIC:                             1024.
Df Residuals:                      55   BIC:                             1035.
Df Model:                           4                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept   2.438e+04   1534.983     15.882      0.000    2.13e+04    2.75e+04
x1             0.4532      0.013     36.149      0.000       0.428       0.478
x2           -56.6435     18.228     -3.107      0.003     -93.173     -20.114
x3            -0.0097      0.010     -0.943      0.350      -0.030       0.011
x4          -343.1776    150.159     -2.285      0.026    -644.103     -42.252
==============================================================================
Omnibus:                        1.715   Durbin-Watson:                   2.374
Prob(Omnibus):                  0.424   Jarque-Bera (JB):                1.275
Skew:                           0.116   Prob(JB):                        0.529
Kurtosis:                       2.325   Cond. No.                     8.98e+05
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
[2] The condition number is large, 8.98e+05. This might indicate that there are
strong multicollinearity or other numerical problems.

估计方程为：

第11章 时间序列分析

11.1 时间序列的成分和预测方法

记号：

\(t\) 表示所观察的时间
\(\hat{Y_t}(t=1,2, \dots , n)\) 表示在时间 \(t\) 上的观测值。

时间序列的成分

1. 趋势（trend）；
2. 季节变动（seasonal fluctuation）：以年为周期的固定变动；
3. 循环波动（cyclical fluctuation）：非固定长度的周期性波动；
4. 不规则波动（irregular variations）；

预测方式

评估方法的好坏：

• 平均误差（mean error）
• 平均绝对误差（mean absolute deviation）
• 均方误差（mean square error）
• 平均百分比误差（mean percentage error）
• 平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error）

常用：均方误差；
均方误差（MSE）是误差平方和的平均数

\[MSE = \frac{\sum_{i=1}^{n}(Y_i-F_i)^2}{n} \]

\(Y_i\) 为第i期的实际值；\(F_i\) 为第i期的预测值；$ n $ 为预测误差的个数；

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