526互联

计算凸多边形的重叠面积(原理解析)

发布时间 2023-07-21 10:21:51作者: infinite_ryvius

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参考文章：https://blog.csdn.net/xuyin1204/article/details/107768030

本文主要是参考了CSDN博主xuyin1204关于计算两个多边形的重叠面积的文章，并做了原理的相关分析。代码放在文末

  1. 首先将两个多边形分解为三角形，分解方法比较简单，将固定凸多边形的0号顶点，以此遍历其他顶点，组成三角形。
    如果分解的过程中遇到三角形为顺时针的情况，则将其重新排布为逆时针顺序。
  2. 这样，就将问题转化为两个三角形的重叠面积
  3. 两个三角形A,B的重叠面积，计算的思路如下。获取两个三角形的重叠区域，这个重叠区域可能是三角形，也可能是多边形。
    然后再计算多边形的面积。
  4. 如何获取重叠区域？计算方法如下：
    • 将B三角形的坐标全部加入P数组中，以P为待处理的多边形，经过下面步骤处理后，P即为重叠区域。
    • 依次取三角形的边向量A0->A1,A1->A2,A2->A0,设边向量为 A(i)->A(i+1)
      • 依次取P点坐标，设为 P(j)
        • 判断P(j)点坐标，是否在边向量A(i)->A(i+1)的左侧，如果是则加入临时数组T
        • 判断P(j+1)点与P(j)点是否在边向量异侧，如果是则计算P(j)P(j+1)与A(i)A(i+1)的交点，并加入T
      • 更新将P更新为临时数组T
    • 计算完成后，即可得到重叠区域(具体思路看重点问题)
  5. 通过多边形面积公式，即可计算想要的面积

重点问题：重叠的获取原理

  • 对A三角形边向量的每一次操作，等于沿着A三角形边向量的法线方向，切掉B三角形的面积。
  • 每一次切除后，剩下的面积为P.
  • 最后处理完成后，相当于A三角形区域外的面积全部被切除，这样B剩下的面积P，即为重叠面积。

image

如上图所示，沿着A0->A1的法向量，切掉三角形B的面积；再沿着A1->A2,A2->A0,切掉剩余的部分。得到的就是最终的重叠多边形。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 300;
const double eps = 1e-6;
//位置标识
int dcmp(double x)
{
    if(x > eps) return 1;
    return x < -eps ? -1 : 0;
}

struct Point
{
    double x, y;
};

double cross(Point a, Point b, Point c)  
{
    return (a.x-c.x)*(b.y-c.y)-(b.x-c.x)*(a.y-c.y);  //叉积公式
}

//计算线段ab和cd的交点坐标
Point intersection(Point a, Point b, Point c, Point d)
{
    Point p = a;
    double t =((a.x-c.x)*(c.y-d.y)-(a.y-c.y)*(c.x-d.x))/((a.x-b.x)*(c.y-d.y)-(a.y-b.y)*(c.x-d.x)); 
    p.x +=(b.x-a.x)*t; 
    p.y +=(b.y-a.y)*t;
    cout << "intersection p.x=" << p.x << ", p.y=" << p.y << endl;
    return p;
}

//计算多边形面积，将多边形拆解成连续三个顶点组合成的多个三角形进行计算，这个循环计算一次其实是计算两次多边形的面积。
double PolygonArea(Point p[], int n)
{
    if(n < 3) return 0.0;
    double s = p[0].y * (p[n - 1].x - p[1].x);
    for(int i = 1; i < n - 1; ++ i) {
        s += p[i].y * (p[i - 1].x - p[i + 1].x);
        // cout << "p[i-1].x =" << p[i-1].x << ", p[i-1].y=" << p[i-1].y << endl;
        // cout << "p[i].x =" << p[i].x << ", p[i].y=" << p[i].y << endl;
        // cout << "p[i+1].x =" << p[i+1].x << ", p[i+1].y=" << p[i+1].y << endl;
    }
    s += p[n - 1].y * (p[n - 2].x - p[0].x);
    cout << "s =" << s << endl;
    return fabs(s * 0.5);
}

double CPIA(Point a[], Point b[], int na, int nb)  //ConvexPolygonIntersectArea
{
    Point p[20], tmp[20];
    int tn, sflag, eflag;
    memcpy(p,b,sizeof(Point)*(nb));
    for(int i = 0; i < na && nb > 2; i++)
    {
    	if (i == na - 1) {
    		sflag = dcmp(cross(a[0], p[0],a[i]));
    	} else {
    		sflag = dcmp(cross(a[i + 1], p[0],a[i]));
    	}
        for(int j = tn = 0; j < nb; j++, sflag = eflag)
        {
            if(sflag>=0) {
            	tmp[tn++] = p[j];
            }
            if (i == na - 1) {
            	if (j == nb -1) {
            		eflag = dcmp(cross(a[0], p[0], a[i]));
				} else {
					eflag = dcmp(cross(a[0], p[j + 1], a[i])); //计算下一个连续点在矢量线段的位置
				}
			} else {
				if (j == nb -1) {
					eflag = dcmp(cross(a[i + 1], p[0], a[i]));
				} else {
					eflag = dcmp(cross(a[i + 1], p[j + 1], a[i]));
				}
			}
            if((sflag ^ eflag) == -2) {  //1和-1的异或为-2，也就是两个点分别在矢量线段的两侧
            	if (i == na - 1) {
            		if (j == nb -1) {
            			tmp[tn++] = intersection(a[i], a[0], p[j], p[0]); //求交点
            		} else {
            			tmp[tn++] = intersection(a[i], a[0], p[j], p[j + 1]);
            		}
				} else {
					if (j == nb -1) {
						tmp[tn++] = intersection(a[i], a[i + 1], p[j], p[0]);
					} else {
						tmp[tn++] = intersection(a[i], a[i + 1], p[j], p[j + 1]);
					}
				}
            }
        }
        memcpy(p, tmp, sizeof(Point) * tn);
        nb = tn, p[nb] = p[0];
    }
    if(nb < 3) return 0.0;
    return PolygonArea(p, nb);
}

double SPIA(Point a[], Point b[], int na, int nb)    //SimplePolygonIntersectArea 调用此函数
{
    int i, j;
    Point t1[na], t2[nb];
    double res = 0, num1, num2;
    t1[0] = a[0], t2[0] = b[0];
    for(i = 2; i < na; i++)
    {
        t1[1] = a[i-1], t1[2] = a[i];
        num1 = dcmp(cross(t1[1], t1[2],t1[0]));  //根据差积公式来计算t1[2]在矢量线段（t1[0], t1[1]）的左侧还是右侧，
                                                 //值为负数在矢量线段左侧，值为正数在矢量线段右侧
        if(num1 < 0) swap(t1[1], t1[2]);  // 按逆时针进行排序
        for(j = 2; j < nb; j++)
        {
            t2[1] = b[j - 1], t2[2] = b[j];
            num2 = dcmp(cross(t2[1], t2[2],t2[0]));
            if(num2 < 0) swap(t2[1], t2[2]);  
            res += CPIA(t1, t2, 3, 3) * num1 * num2; 
        }
    }
    cout << "Sum::res=" <<res << endl;
    return res;
}

Point p1[maxn], p2[maxn];
int n1, n2;
int main()
{

    while(cin>>n1>>n2)
    {
        for(int i = 0; i < n1; i++) scanf("%lf%lf", &p1[i].x, &p1[i].y);
        for(int i = 0; i < n2; i++) scanf("%lf%lf", &p2[i].x, &p2[i].y);
        double Area = SPIA(p1, p2, n1, n2);
        cout << "Area=" << Area << endl;
        double A1 = PolygonArea(p1, n1);
        double A2 = PolygonArea(p2, n2);
        cout << "A1 =" << A1 << ", A2=" << A2 << endl;
    }

    return 0;
}