复习个锤子……
1 质点系与守恒律
质心：\(M\bm R=\sum m_i \bm r_i\Rightarrow \sum m_i(\bm r_i-\bm R)=\sum m_i \bm r'_i=0\)。
总动量：\(\bm p=M\bm v=\sum m_i \bm v_i\Rightarrow \sum m_i (\bm v_i-\bm v)=\sum m_i \bm v'_i=0\)。
总角动量： \(\bm L=\sum \bm r_i\times \bm p_i=\bm R\times \bm p+\sum \bm r'_i\times m_i \bm v'_i\)。
总动能： \(T=\sum \frac{1}{2} m_i \bm v_i^2=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2\)。
势能： 假设内力为保守力， \(\bm F_{ji}=-\nabla_i V_{ij}\)，\(V_{ij}=V_{ji}(|\bm r_i-\bm r_j|)\)对应中心力。那么任意两质点间相互作用方向相反且合力矩为零，满足强形式的作用和反作用定律。 \(\sum_{i\neq j} \int_1^2 \bm F_{ji}\cdot d \bm s_i=-\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}V_{ij}|^2_1\)。假设外力为保守力， \(\bm F_i^{(e)}=-\nabla_i V_i\)。定义系统的总势能为 \(V=\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}\)。
总能量：\(E=T+V=\frac{1}{2}M\bm v^2+\frac{1}{2}\sum m_i{\bm v'_i}^2+\sum_i V_i+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} V_{ij}\)。
守恒律：如果满足强形式的作用和反作用定律，外力为保守力，那么系统的动量、角动量、能量守恒。
更一般的守恒律：洛伦兹力不是保守力，不满足强形式的作用和反作用定律，但如果将电磁场的动量、角动量、能量考虑进来，满足更一般的守恒律。
2 理想完整约束与拉格朗日方程
完整约束：约束条件中不含 \(\dot{\bm x}_i\)：\(f(\bm x_i,t)=0\)。非完整约束可以含 \(\dot{\bm x}_i\)，一个例子是硬币在地面上滚动（可以有倾角）。
稳定约束： 约束条件不显含时间：\(f(\bm x_i,\dot{\bm x}_i)=0\)。不稳定约束可以显含时间，一个例子是一根套在细杆上的圆环，细杆随时间转动。
广义坐标：完整约束系统的所有独立自由度的一个最小集合 \(\{q_1,\cdots,q_{3N-k}\}\)。 \(\bm x_i=\bm x_i(q_1,\cdots,q_{3N-k},t),\quad i=1,2,\cdots,N\)。
广义坐标的导数：\(\dot{\bm x}_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \dot q_j +\frac{\partial\bm x_i}{\partial t}\)。
虚位移： 某一时刻的满足约束条件的变更\(\delta \bm x_i=\frac{\partial \bm x_i}{\partial q_j} \delta q_j\)。
理想约束：约束力也就是内力，理想约束被定义为约束力所作的净虚功为零 \(\sum \bm F_i^{(c)}\cdot \delta \bm x_i=0\)。杠杆、滑轮、理想刚体都满足理想约束条件，有耗散（摩擦）的系统不满足。可以理解为，系统的内力是保守力且内势能 \(\sum V_{ij}\)保持不变的约束。
达朗伯原理：理想完整约束下 \(\sum_i (\bm F_i^{(e)}-\dot{\bm p}_i) \cdot \delta \bm x_i=0\Rightarrow \sum_j Q_j\delta q_j=\sum m_i\ddot{\bm r}_i \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}\)，其中 \(Q_j=\sum_i\bm F_i^{(e)}\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}\)为广义力。
欧拉-拉格朗日方程：理想完整约束的系统，且外力为保守力，\(Q_j=\sum_i (-\nabla_i V)\cdot \frac{\partial \bm r_i}{\partial q_j}=\frac{\partial V}{\partial q_j}\)，势函数不依赖于广义速度。那么定义拉格朗日量 \(L=T(q_j,\dot q_j,t)-V(q_j,t)\)，得到 \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。
与速度相关的势：假设广义势函数 \(U(q,\dot q,t)\)，定义广义力 \(Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j}\)， \(L=T(q,\dot q,t)-U(q,\dot q,t)\)，则仍然可以得到拉格朗日方程 \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。这被称为单演系统。
带电粒子在电磁场中运动：\(L=\frac{1}{2}mv^2-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c\)，那么力为\(\bm F=-q\nabla \phi + q\dot {\bm A}/c\)。
3 最小作用量原理
作用量泛函：\(S[q,\dot q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t) dt\)，两端点的 \(q\)固定。这里的拉格朗日量作为 \(q,\dot q,t\)的函数。
最小作用量原理：系统真实的运动轨道使作用量取极值。也就是说拉格朗日量集成了系统的一切物理信息。
作用量变分：\(\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} \delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q\right)dt\)，任意固定两端点的路径变分 \(\delta q,\delta \dot q\) 满足 \(\delta S=0\)，分布积分后得到拉格朗日方程\(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\)。
正则动量：或者称广义动量 \(p_i=\partial L/\partial \dot q_i\)。
等价的拉格朗日量：如果 \(L\rightarrow L+d f(q,t)/dt\)，那么拉格朗日方程不变。
相对论性作用量：构造洛伦兹标量 \(S=-mc\int ds\)，\(ds\)为四维时空中粒子的不变距离，\(m\)为静止质量。\(ds=\sqrt{d x_\mu dx^\mu}\)，\(x^\mu=(ct,\bm x)\)，拉格朗日量为 \(-mc^2/\gamma=-mc^2\sqrt{1-\bm v^2/c^2}\)。多粒子体系可简单推广。
运动方程的四维协变形式：对作用量变分得到\(d^2 x^\mu/d s^2=0\)。可以定义四动量 \(p^\mu=mc (dx^\mu/ds)=(E/c,\bm p)=\gamma(mc,m\bm v)\)。
粒子与电磁场耦合：\(S=-mc\int ds-\frac{e}{c}\int A_\mu(x) dx^\mu\)，四矢势 \(A^\mu=(\phi,\bm A)\)。可得 \(mc(d^2 x_\mu/ds^2)=\frac{e}{c}F_{\mu\nu}\frac{d x^\nu}{ds}\)，得到洛伦兹力公式 \(\dot{ \bm p}=e\bm E+\frac{e}{c}\bm v\times \bm B\)，非相对论极限下回归 \(L=T-q\phi+q\bm A\cdot \bm v/c\)。
粒子与标量场耦合：\(S=-mc\int e^{\Phi(x)}ds\)，运动方程为 \(\frac{d^2 x^\mu }{ds^2}+\frac{\partial \Phi}{\partial \Phi^\nu}\frac{d x^\mu}{ds} \frac{dx^\nu}{ds}=\frac{\partial \Phi}{\partial s}\)。如果取 \(\Phi=V/mc^2\)，则非相对论极限下回归 \(L=T-V\)。
4 对称性
时间平移不变：\(\partial L/\partial t=0\)，那么 \(E=p_i\dot q_i-L\)是守恒量。如果是保守系统，且动能 \(T\)是 \(\dot q_i\)的二次齐次函数，那么\(E=T+V\)，也就是说能量守恒。
空间平移不变：\(\sum \partial L/\partial \bm x_i=0\)，那么 \(\bm P=\sum \bm p_i=0\)是守恒量。
空间转动不变：设绕\(\hat{\bm \theta}\)轴的转动下拉格朗日量不变，\(\partial L/\partial \theta=0\)，那么\(\partial L/\partial \dot\theta\)为守恒量。对称变换为 \(\delta \bm x_i=\delta \bm \theta\times \bm x_i\)，那么 \(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}=\sum \frac{\partial \bm x_i}{\partial \theta}\cdot \bm p_i= \sum \frac{\delta \bm \theta\times \bm x_i}{\delta \theta}\cdot \bm p_i=\sum \bm x_i\times \bm p_i \cdot \hat {\bm \theta}=\bm J\cdot \hat{\bm \theta}\)为守恒量。如果拉格朗日量具有\(SO(3)\)旋转不变性，那么角动量\(\bm J\)守恒。
标度不变：势能\(U(\lambda\bm x_1,\cdots)=\lambda^k U(\bm x_1,\cdots)\)，动能 \(T((\lambda/\lambda_t)\dot{\bm x}_1,\cdots)=(\lambda/\lambda_t)^2 T(\dot{\bm x}_1,\cdots)\)。当 \(\lambda_t=\lambda^{1-k/2}\)时拉氏量整体放缩一个因子，运动方程不变。例如开普勒问题中\(k=-1\)，\(\lambda^t=\lambda^{3/2}\)，所以开普勒第三定律表明周期的平方正比于轨道尺寸的立方。
维里定理：势能 \(U(\bm x_1,\cdots)\)不含速度，体系动能 \(T\)是速度的二次齐次函数，那么 \(2T=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial T}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \dot{\bm x}_i\cdot \frac{\partial L}{\partial \dot{\bm x}_i}=\sum_i \frac{d}{dt}(\bm x_i\cdot \bm p_i)-\bm x_i\cdot \dot{\bm p}_i\)。假设系统局限在有限区域内运动，对时间取长时间平均，得到 \(2\langle T\rangle = \langle\sum_i \bm x_i\cdot \frac{\partial U}{\partial \bm x_i}\rangle\)。若势能是坐标的 \(k\)次齐次函数，那么 \(2\langle T\rangle = k\langle U\rangle\)。
时间反演不变：\(t\rightarrow -t,\dot{\bm x}\rightarrow -\dot{\bm x}\)，若拉氏量含速度一次项那么将破坏时间反演不变，例如阻尼系统。电磁场中的粒子，拉氏量含 \(\dot{\bm x}\cdot \bm A\)项，\(\bm A\rightarrow -\bm A\)使系统时间反演不变。\(\bm E\rightarrow \bm E,\bm B\rightarrow -\bm B\)。
空间反演不变：\(\bm x\rightarrow -\bm x,\dot{\bm x}\rightarrow -\bm{\dot x},\bm A(\bm x)\rightarrow -\bm A(-\bm x)\)，且势能函数满足空间反演不变，那么系统空间反演不变。\(\bm E\rightarrow -\bm E,\bm B\rightarrow \bm B\)，磁场为轴矢量。