\(本人是真的没有数理基础啊！！！\)
关于本题内求极限的探讨:
首先是题目：
\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0} {\frac {\sum_{i=1} ^ {n} {a_i\cdot ln(1 +b_i\cdot x)} } {x^t}} \\
\end{align*}
\]
题目样例:
\[a_1 = 1,b_1= 1\\
a_2 = 1,b_2=-1\\
t=2\\
答案为:-1
\]
本人对该样例苦思许久，都无法理解，因此有了这篇随笔。
心路历程：
很久没求过极限了，第一反应就是拆分和式，0比0型洛必达。等价无穷小代换。后求导。
\[\begin{align*}
&\lim_{x \to 0}(\frac {x} {x^2} + \frac {-x} {x^2} )=\lim_{x \to 0}(\frac {1} {2x} +\frac {-1} {2x})=0
\end{align*}
\]
不用等价无穷小代换直接求导也差不多.
\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0}[\frac {ln(1+x)} {x^2} + \frac {ln(1 - x)} {x^2}] = \lim_{x\to0}(\frac 1 {x^3}- \frac 1 {x^3})= 0
\end{align*}
\]
然后坐牢了1个小时左右，才回想起有泰勒展开带入这方法，具体点的思路可看改题解题思路，链接就在标题上。
回头总结：
问题提出:
首先，为什么等价无穷小代换不行？
因为这里的等价无穷小代换精度不够。
举个例子:
\[\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\frac {3x^3} {2x^3} = \frac 3 2
\end{align*}
\]
这个式子正确可以说是上下两个同阶项的系数都是正确的，如果我们将\(3x^3\)用\(2x^3\)等价代换了呢？
众所周知（听别人说的），我们常记的等价无穷小代换本质上就是泰勒展开的一阶展开。
什么是泰勒展开？
泰勒展开就是用多项式来近似表达一个函数。
我们现在有个\(f(x)\)，但是她太复杂了，不方便研究。于是我们就想到，我们通过模仿她的性质，用一个初等函数组成的多项式来近似她，这样便于处理。
对于一个函数\(f(x)\)她的一阶导数包含了她的单调性，二阶导数包含了她的凹凸性，三阶我不知道。。。
总而言之，如果我们近似的这个多项式的n阶导数，如果和她相同的越多是否说明二者越相近呢？
当然，某一点导数体现的是函数\(f(x)\)在某一点的性质，我们就是从点得到一个具体的数代表性质，然后深入、扩展。
于是，我们设\(f(x)\)在\(x_0\)处具有\(n\)阶导数,模拟一个关于\((x-x_0)\)的近似多项式:
\[p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n \tag{1}
\]
接下来，我们要使\(f(x)\)和\(p_n(x)\)的\(n\)阶导相等
直接求导代入即可:
\[\begin{align*}
&a_0= f(x_0),1\cdot a_1=f'(x_0),\\,
2!\cdot &a_2=f''(x_0),...,n!\cdot a_n=f^{(n)}(x_0)
\end{align*}
\]
得:
\[\begin{align*}
a_0= f(x_0),a_1=f'(x_0),a_2=\frac 1 {2!}f''(x_0),...,a_n=\frac 1 {n!}f^{(n)}(x_0)
\end{align*}
\]
将\(a_0,a_1,a_2,...,a_n\)代入公式\((1)\)可得:
\[p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac {f''(x_0)} {2!}(x - x_0)^2 + ... +\frac {f^{(n)}(x_0)} {n!}(x - x_0)^n \tag{2}
\]
其中,\(x_0==0\)时，就是麦克劳林公式了:
\[p_n(x)=f(x_0)+f'(0)x+\frac {f''(0)} {2!}x^2 + ... +\frac {f^{(n)}(0)} {n!}x^n \tag{2}
\]
回到主题:
有些时候，等价无穷小代入求解有较大偏差，就是因为泰勒公式继续展开能发现有些同阶的项没有被考虑在内。
众所周知，高阶项在极限逼近的时候，总是比低阶项要快。
比如，我们求
\[\lim_{x \to 0}\frac {2x^2 +3x^3 + x^4} {x^3}
\]
高阶的\(x^4\)可以不看，因为和式拆分出来她那一部分的项一定会趋于0.
而低阶的\(x^2\)无论系数是多少，和式拆分出来那部分一定是趋于\(\infty\).
上述问题也是在做题时遇到的要讨论的情况。
所以在求极限时，我们最终的非零和非无穷解，基本就要看同阶项的系数比值了。所以泰勒展开求得某一阶精确系数就很重要了。
正常求极限例题补充：