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Question

给出一个图，找出 \(1 \sim n\) 的两条，使得路径和最小

Solution

可以把点拆开，把除了 \(1\) 和 \(n\) 的点 \(i\) ，拆成 \(i\) 和 \(i'\) ，\(i\) 到 \(i'\) 连一条费用为 \(0\) ，容量为 \(1\) 的边，如果原来有一条边 \(u-v\) ，那么就建立一条 \(u'->v\) ，费用为 \(w_{u,v}\)，容量为 \(1\) 的边

之后刷 \(1\sim n\) ，流量为 \(2\) 的最大费用就是答案

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1<<30;
const int maxn=2010;

struct Edge{
    int from,to,cap,flow,cost;
    Edge(int u,int v,int c,int f,int w):from(u),to(v),cap(c),flow(f),cost(w){}
};

struct Dinic{
    int n,m,s,t;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int vis[maxn];
    int dis[maxn];
    int a[maxn];  //起点到 i 的可改进量
    int cur[maxn]; //当前弧
    

    void init(int n){
        this->n=n;
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void add_e(int from,int to,int cap,int cost){
        // printf("%d %d %d %d\n",from,to,cap,cost);
        edges.push_back(Edge(from,to,cap,0,cost));
        edges.push_back(Edge(to,from,0,0,-cost));
        m=edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool SPFA(){
        for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=INF;
        memset(vis,0,sizeof vis);
        queue<int> Q;
        Q.push(s);dis[s]=0;vis[s]=1;a[s]=INF;
        while(!Q.empty()){
            int u=Q.front();Q.pop();
            vis[u]=0;
            for(int i=0;i<G[u].size();i++){
                Edge& e=edges[G[u][i]];
                if(e.cap-e.flow>0&&dis[e.to]>dis[u]+e.cost){
                    dis[e.to]=dis[u]+e.cost;
                    a[e.to]=min(a[u],e.cap-e.flow);
                    if(!vis[e.to]){Q.push(e.to);vis[e.to]=1;}
                }
            }
        }
        if(dis[t]==INF) return false;
        return true;
    }
    
    int DFS(int u,int a){
        if(a==0||u==t) return a;
        vis[u]=1;
        int flow=0,cost=0,f;
        for(int& i=cur[u];i<G[u].size();i++){
            Edge &e=edges[G[u][i]];
            if(!vis[e.to] && dis[u]+e.cost==dis[e.to]&&(f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
                e.flow+=f;
                edges[G[u][i]^1].flow-=f;
                flow+=f;
                a-=f;
                if(a==0)break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int MincostMaxflow(int s,int t,LL& cost){
        this->s=s,this->t=t;
        int flow=0;
        while(SPFA()){
            memset(vis,0,sizeof vis);
            memset(cur,0,sizeof cur);
            int now_flow=DFS(s,INF);
            flow+=now_flow;
            cost+=dis[t]*now_flow;
        }
        return flow;
    }
};


int main(){
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        Dinic F;
        F.init(2*n+2);
        int st=2*n+1,ed=2*n+2;
        
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y,z;
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
            if(x!=1&&x!=n)
                F.add_e(x+n,y,1,z);
            else 
                F.add_e(x,y,1,z);
        }
        for(int i=2;i<n;i++){
            F.add_e(i,i+n,1,0);
        }
        F.add_e(st,1,2,0);F.add_e(n,ed,2,0);
        LL cost=0;
        F.MincostMaxflow(st,ed,cost);
        printf("%lld\n",cost);
    }
    return 0;
}