电路分析基础(第5版孙瀚荪)
- 第一篇总论与电阻电路的分析
  - 第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系
  - 第二章网孔分析和节点分析
    - $\S$ 2-1 网孔分析
    - $\S$ 2-2 节点分析

电路分析基础(第5版孙瀚荪)

《电路分析基础》第5版是普通高等教育“十二五”国家级规划教材。上册分为两篇：总论和电阻电路的分析、动态电路的时域分析。具体内容有：集总参数电路中电压、电流的约束关系、网孔分析和节点分析、叠加方法与网络参数、分解方法及单、双口网络、电容元件与电感元件、一阶电路、二阶电路。

第一篇总论与电阻电路的分析

第一章集总参数电路中电压、电流的约束关系

$\S$ 1-1 电路及集总电路模型

当实际电路的尺寸远小于使用时其最高工作频率所对应的波长时，可以用几种“集总参数元件（lumped parameter element）”来构成实际部、器件模型。每种集总参数元件只反映一种基本电磁现象，且可由数学方法加以定义。

由集总参数元件组成的电路，称为实际电路的集总电路模型或集总电路。集总电路理论研究的对象就是这种由元件图形符号组成的电路模型（电路图）。例如，对无线电调频接收机来说，若所接收的信号频率为100MHz，则对应的波长为$\lambda = c/f = 3$ m（传播速度以光速计，即$c = 3\times 10^8$ m/s）,连接接收天线与接收机之间的传输线即便只有1m长，也不能作为集总电路来处理。

下图为部分电气图用图形符号：

图 1-1 部分电气图用图形符号

$\S$ 1-2 电路变量——电流、电压及功率

电子和质子都是带电的粒子，电子带负电荷，质子带正电荷。所带电荷的多少称为电荷量，在国际单位制中，电荷量的单位是库仑（符号为C）,$6.24\times 10^{18}$个电子所具有的电荷量等于1C。用符号$q$或$Q$表示电荷量。带电粒子有秩序的移动便形成电流。

每单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流，用以衡量电流的大小，用符号 $i$ 表示，即

\[i(t) = \frac{\text{d}q}{\text{d}t} \tag {1-1} \]

习惯把正电荷运动的方向规定为电流的方向。
如果电流的大小和方向不随时间变化，称为恒定电流，简称直流（direct current，DC），否则称为时变（time varying）电流。若时变电流的大小和方向都随时间作周期性（periodic）变化，则称为交变（alternating）电流，简称交流（AC）。

电压也称为“电位差”，用符号$u$表示。电路中a、b两点间的电压表明了单位正电荷由a点转移到b点时所获得或失去的能量，即

\[u(t) = \frac{\text{d}w}{\text{d}q} \tag {1-2} \]

其中 $\text{d}q$ 为由a点转移到b点的电荷量，单位为库仑（C）；$\text{d}w$ 为转移过程中，电荷 $\text{d}q$ 所获得或失去的能量，单位为焦耳（J）。电压的单位为福特（V）。
如果正电荷由a转移到b获得能量，则a点为低电位，即负极，b点为高电位，即正极。
如果正电荷由a转移到b失去能量，则a点为高电位，即正极，b点为低电位，即负极。

为方便起见，常采用关联的（associated）参考方向：电流参考方向与电压电压参考“+”极到“-”极的方向一致，即电流与电压降参考方向一致，如下图（a）所示。这样，在电路图上就只需标出电流的参考方向、电压的参考极性中的一种，如（b）、(c)所示。

图1-2 电压与电流的关联的参考方向

现在来讨论电路中的某一段所吸收或提供能量的速率即功率的计算。
功率用符号 $p$ 表示。用下图所示方框来表示该段电路，它可能是电阻元件或一个电源，或者时若干元件的组合。采用关联的电压、电流参考方向，并设在 $\text{d}t$ 时间内由a转移到b的正电量为 $\text{d}q$，且由a到b为电压降，其值为 $u$，则根据${(1-2)}$式可知在转移过程中 $\text{d}q$ 失去的能量为

\[\text{d}w = {u}{\text{d}q} \]

图1-3 功率的参考方向

电荷失去能量意味着这段电路吸收能量，亦即能量由电路的其他部分传送到这一部分。能量传输或能量流动的方向如图中空心箭头方向所示。吸收能量的速率，由功率 $p$ 表示为

\[p(t) = \frac{\text{d}w}{\text{d}t} = {u}\frac{\text{d}q}{\text{d}t} \]

因 $i(t) = \frac{\text{d}q}{\text{d}t}$，故得

\[p(t) = u(t)i(t) \tag{1-3} \]

从$(1-3)$式的推导过程可知：如果所研究的电路部分，电流、电压的参考方向系关联的，且功率的参考方向系进入该电路部分的，三者之间的关系如图所示，运用$(1-3)$式计算该电路部分的功率时，若功率为正，表示功率的实际方向与参考方向一致，亦即该电路部分吸收能量，$p$ 值即为吸收能量的速率，工程上简称吸收的功率；若功率为负，表示功率的实际方向与参考方向相反，亦即该电路部分提供能量，$p$ 值即为产生能量的速率，简称提供的功率。

显然，$u$、$i$、$p$ 三者的参考方向中若改变其中任何一个使与图中所示者相反，并改用

\[p(t) = -u(t)i(t) \tag{1-4} \]

计算功率，若结果为正，仍表示吸收功率；结果为负，仍表示提供功率。

在图1-3所示的参考方向下，在$t_0$到$t$的时刻内该部分电路吸收的能量为

\[w(t_0,t) = \int_{t_0}^{t}p(\xi)\mathrm{d}\xi = \int_{t_0}^{t}u(\xi)i(\xi)\mathrm{d}\xi \tag{1-5} \]

下图为部分国际单位制SI（法语：Système International d'Unités）的词头：

图1-4 部分SI词头

$\S$ 1-3 基尔霍夫定律

集总电路由各种元件通过理想导体连接而成，若将每个二端元件视为一条支路（branch），这样，流经元件的电流和元件的端电压分别称为支路电流和支路电压。
节点（node）：支路的连接点
回路（loop）: 电路的任一闭合路径
网孔（mesh）: 在回路内部不另含有支路的回路

电荷守恒和能量守恒是自然界的基本法则，把他们运用到集总电路就得到基尔霍夫的两个定律。
电荷守恒：电荷既不能创造也不能消灭。由此可得基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's current law,KCL）。

基尔霍夫电流定律（KCL）:
对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流向某一节点电流的代数和恒等于零。其数学表达式为：

\[\sum_{k=1}^{K}i_{k}(t) = 0 \tag{1-6} \]

式中$i_{k}(t)$为流出（或流进）该节点的第$k$条支路的电流，$K$为该节点处的支路数。

能量守恒：在某段时间内电路中某些元件得到的能量有所增加，则其他一些元件的能量必须有所减少，保持能量的“收支”平衡。

基尔霍夫电压定律（KVL）：
对于任一集总参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零。其数学表达式为

\[\sum_{k=1}^{K}u_{k}(t) = 0 \tag{1-7} \]

式中$u_{k}(t)$为该回路中的第$k$条支路电压，$K$为该回路的支路数。

$\S$ 1-4 电阻元件

电阻元件（resistor）反映电阻器对电流呈现阻力的性能，可由欧姆定律定义，即

\[R = \frac{u(t)}{i(t)} \tag{1-8} \]

式中$u$为电阻元件两端的电压；$i$为流过电阻元件的电流；$R$为电阻。由欧姆定律定义的电阻元件，称为线性电阻元件。

电阻元件也可以用另一个参数——电导（conductance）来表征，用符号$G$来表示，其定义为

\[G = \frac{1}{R} \tag{1-9} \]

国际单位制中电导的单位是西门子，简称西（符号为S）。

线性电阻的电压（或电流）不能“记忆”电流（或电压）在“历史”上起过的作用。显然，这种无记忆（memoryless）的性质不只为线性电阻所有，任何一个二端元件只要它的$u(t)$和$i(t)$之间存在着代数关系，不论这一关系是线性还是非线性的，都具有这种性质。在这样的认识基础上，电阻元件的一般定义应为：
任何一个二端元件，如果在任意时刻的电压$u(t)$和电流$i(t)$之间存在着代数关系

\[f(u,i) = 0 \tag{1-10} \]

亦即这一关系可以由$u$-$i$平面（或$i$-$u$平面）上一条曲线所决定，不论电压和电流的波形如何，则此二端元件称为电阻元件。凡电阻元件均是无记忆的。

晶体二极管可以用下图所示的伏安特性曲线来表征。

图1-5 二极管电气图形符号

图1-6 二极管的伏安特性曲线

对于所有线性电阻，伏安特性曲线对原点对称，说明元件对不同方向的电流或不同极性的电压其表现是一样的，这种性质称为双向性（bilateral）。因此在使用线性电阻时，它的两个端钮没有区别。伏安特性曲线对原点不对称，说明元件对不同方向的电流或不同极性的电压其表现是不同的，这种非双向性由大多数非线性电阻具备。

对于二极管而言，正向偏置（bias）时电流由正极向负极流，电阻较小。反向偏置时电流由负极向正极流，电阻较大（注意图中反向电流时纵坐标改为以$\mu \mathrm{A}$为单位）。在理想情况下，表现为单向性（unilateral），即正向偏置表现为短路，反向表现为开路。

如果元件在所有$t\ge -\infty$及所有$i(t)$、$u(t)$的可能组合，当且仅当其吸收的能量$w(t)$满足

\[w(t) = \int_{-\infty}^{t}u(\xi)i(\xi)\mathrm{d}\xi \ge 0 \tag{1-11} \]

则此元件称为无源（passive）元件，亦即无源元件从不向外电路提供能量。如果二端元件不是无源的，则此元件称为有源（active）元件。正电阻属无源元件，吸收的能量转化为热能散失；负电阻属有源元件。有源是一个涉及电路性能的概念（重点在于提供能量）；含源是一个涉及电路结构的概念（重点在于在电路结构中存在源器件）。

$\S$ 1-5 电压源

电压源具有两个基本性质：
（1）它的端电压是定值$U_s$或是一定的时间函数$u_s(t)$，与流过的电流无关。当电流为零时，其两端仍有电压$U_s$或$u_s(t)$。
（2）电压源的电压由本身确定，流过它的电流是任意的。即，流过它的电流不由它本身确定，而由与之相连接的外电路决定。电流可以从不同方向流过电压源，因而电压源既可以对外电路提供能量，也可以从外电路接受能量，视电流方向而定。

如下图所示，在$u-i$平面上，电压源在时刻$t_1$的伏安特性曲线是一条平行于$i$轴且纵坐标为$u_s(t_1)$的直线。特性曲线表明电压源端电压与电流大小无关。

图1-7 电压源在时刻$t_1$的伏安特性曲线

电压源的符号如下图所示。

图1-8 电压源的符号

$\S$ 1-6 电流源

电流源具有两个基本性质：
（1）它发出的电流是定值$I_s$或是一定的时间函数$i_s(t)$，与两端的电压无关。当电压为零时，它发出的电流仍为$I_s$或$i_s(t)$。
（2）电流源的电流由本身确定，两端电压是任意的。即，它的两端电压不由它本身确定，而由与之相连接的外电路决定。其两端电压可以有不同的极性，因而电流源既可以对外电路提供能量，也可以从外电路接受能量，视电压极性而定。
由电流源的基本性质可知：与电流源串联的元件，其电流即为电流源的电流。

如下图所示，在$u-i$平面上，电流源在时刻$t_1$的伏安特性曲线是一条平行于$u$轴且纵坐标为$i_s(t_1)$的直线。特性曲线表明电流源电流与端电压大小无关。

图1-9 电流源在时刻$t_1$的伏安特性曲线

电流源的符号如下图所示，在表示直流电流源时，$i_s(t_1)=I_s$。

图1-10 电流源的符号

在电路理论中，电压源和电流源合称为激励源。
在电子电路中，信号一词常代表带有信息的电压或电流，信号源可以是电压源，也可以是电流源。

$\S$ 1-7 受控源

受控源可分为电压控制电压源（VCVS）、电流控制电压源(CCVS)、电压控制电流源（VCCS）和电流控制电流源（CCCS），如下图所示。它们都涉及两条支路，其一为控制支路，这条支路或为开路（压控情况）或为短路（流控情况）；另一为受控支路，这条支路或用一个受控“电压源”表面该支路的电压受控制、支持的性质，或用一个受控“电流源”表面该支路的电压受控制、支持的性质。它们都用以表示电子器件内部物理现象的一种模型。总称为受控源，与电阻、电压源、电流源等同属于电路模型的基本元件，表征基本元件的参数，称为电路的主参数。

图1-11 四种受控源

受控源是一种双口电阻元件。与单口电阻元件$(1-10)$不同，双口电阻元件由如下两个代数方程定义：

\[f_1(u_1,u_2,i_1,i_2) = 0 \tag{1-12} \]

\[f_2(u_1,u_2,i_1,i_2) = 0 \tag{1-13} \]

即，作为双口电阻元件，每一种线性受控源是由两个方程来表征的，以VCVS为例，它们是

\[f_1(u_1,u_2,i_1,i_2) = i_1 = 0 \tag{1-14} \]

\[f_1(u_1,u_2,i_1,i_2) = u_2 - \mu u_1 = 0 \ 或 \ u_2 = \mu u_1 \tag{1-15} \]

$f_1$与$u_1$、$u_2$、$i_2$无关，$f_2$与$i_1$、$i_2$无关。类似的，对其他三种受控源来说：

\[\textbf{CCVS：} u_1 = 0, u_2 - ri_1 = 0 \ 或 \ u_2 = \mu i_1 \tag{1-16} \]

\[\textbf{VCCS：} i_1 = 0, i_2 - gu_1 = 0 \ 或 \ i_2 = g u_1 \tag{1-17} \]

\[\textbf{CCCS：} u_1 = 0, i_2 - \alpha i_1 = 0 \ 或 \ i_2 = \alpha i_1 \tag{1-18} \]

上述三式中$r$称为转移电阻、$g$称为转移电导、$\alpha$称为转移电流比，均为相应受控源的参数。

采用关联参考方向，受控源吸收的功率为

\[p(t) = u_1(t)i_1(t) + u_2(t)i_2(t) \]

由上面几式可知，控制支路不是开路（$i_1=0$）便是短路（$u_1=0$），所以，对所有四种受控源，其功率均为

\[p(t) = u_2(t)i_2(t) \tag{1-19} \]

亦即可由受控支路来计算受控源的功率。

$\S$ 1-8 分压公式与分流公式

若有$n$个电阻串联，则第$k$个电阻的电压为

\[u_k = \frac{R_k}{\sum_{k = 1}^{n}R_k} u \tag{1-20} \]

这是分压公式的一般形式，式中的分母即为串联电路的总（等效）电阻。

若有$n$个电导并联，则第$k$个电导的电流为

\[i_k = \frac{G_k}{\sum_{k = 1}^{n}G_k} i \tag{1-21} \]

这是分流公式的一般形式，式中的分母即为并联电路的总（等效）电导。

$\S$ 1-9 两类约束 KCL、KVL方程的独立性

KCL、KVL和元件的VCR是对电路中各电压变量、电流变量施加的全部约束，不论是电阻电路还是动态电路都如此，是处理集总电路问题的基本依据。

拓扑约束（topological constraints）：只取决于互连形式的约束，例如，一个回路只由两条支路组成，那么，一条支路的电压将被迫与另一条支路的电压相等，别无选择。

元件约束（element constraints）：只取决于元件本身性质的约束，每种元件的电压、电流形成一个约束，例如，一个线性时不变电阻迫使其两端的电压$u$和流过的电流$i$服从$u = Ri$的约束关系，别无选择。

2b法：在一般情况下，如果电路有 $b$ 条支路，则有 $2b$ 个电压、电流变量，需要 $2b$ 个联立方程来反映它们的约束关系，显然，由 $b$ 条支路的VCR可得到 $b$ 个方程，其余的 $b$ 个独立方程，则恰好由KCL和KVL提供。

KCL独立方程：对 $n$ 个节点的连通图，有且仅有 $(n-1)$ 个独立的KCL方程。任取 $(n-1)$ 个节点列写的KCL方程相互独立；常将能列出独立KCL方程的节点称为独立节点。
KVL独立方程：对具有 $n$ 个节点、 $b$ 条支路的连通图，有且仅有 $b- (n-1) $个独立的KVL方程。将能列出独立KVL方程的回路称为独立回路。
常用的独立回路：(1) $b- (n-1) $ 个基本回路；(2)平面电路的 $b- (n-1) $ 个网孔。

$\S$ 1-10 支路分析

从解题角度来看，若在 $b$ 条支路中，独立电压源支路及独立电流源支路的总数为 $b_{\text{S}}$，则在 $2b$ 分析中

\[未知电压、电流数 = 2b - b_{\text{S}} \]

因为，电源给定，则对电压（流）源支路来说，支路电压（流）便是已知量。这样，所需的方程数也为（$2b - b_{\text{S}}$）个，由KCL及KVL可列出其中的 $b$ 个，由非电源支路的VCR可列出其中的（$b - b_{\text{S}}$）个。

1b法：与$2b$ 分析不同，$1b$ 分析并不企图同时解得支路电压和支路电流，而是先去解得支路电流（或支路电压），再去求解支路电压（或支路电流），涉及的联立方程数等于支路 $b$。

支路电流法：以支路电流为变量，建立联立方程组求解电路的方法
支路电压法：以支路电压为变量，建立联立方程组求解电路的方法

$2b$ 分析和 $1b$ 分析均立足于支路，可合称为支路分析（branch analysis）。

$\S$ 1-11 建模的两种方法二极管模型

对元、器件的建模有两种方法：物理法和黑箱法。
物理法： 根据元、器件内部的物理原理、工作原理，运用理论推导，得出数学公式（数学模型），可供直接计算使用，也可据此构造集总元件模型。
黑箱法： 根据元、器件端钮上的表现（并不需要知悉内部详情），使用实验手段，得出特性曲线，可供计算使用，也可据此构造集总元件模型。

二极管在电路中选择哪一模型，取决于与二极管相连的外电路情况，若外电路电压较高、电阻较高可使用理想二极管模型，否则，只能选用恒压降模型或折线模型。

图1-12 理想二极管模型

图1-13 恒压降模型

图1-14 折线模型

第二章网孔分析和节点分析

在 $1b$ 的支路电流和电压法中，需要联立方程数目为 $b$ 个，电路中的 $b$ 个支路电流是受KCL约束的，因而由个数少于 $b$ 的某一组电流即能确定每一个电流。由此可见，在分两步求解电路时，可由部分适当电流推出全部电流和电压。同理，可由部分电压推出全部电压和电流。

立足于网孔的电路分析和立足于节点的电路分析，体现了这一思路。前者称为网孔分析（法），又称网孔电流法，后者称为节点分析（法），又称为节点电压法。其中节点分析应用更为广泛，且便于编写计算机程序，应予更多关注。

$\S$ 2-1 网孔分析

网孔分析是以 网孔电流（mesh current）作为第一步求解对象，故又称为网孔电流法。
网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，如下图中以虚线表示的 $i_\text{M1}$，$i_\text{M2}$、$i_\text{M3}$。一个平面电路共有 $[b-(n-1)]$ 个网孔，因而也有同数的网孔电流。

图2-1 网孔电流与支路电流

由上图可以看出，各网孔电流不能用KCL相联系。因为：每一网孔电流沿着网孔流动，当它流经某节点时，从该节点流入，又从该节点流出，在为该节点所列的、以网孔电流表示的KCL方程中彼此抵消。因此，网孔电流不能用KCL相联系，求解网孔电流所需的方程组只能来自KVL和支路的VCR。下面将分三种类型电路来说明。这三类电路是按所含元件的特点区分的，即：
（A）含线性电阻和电压源；
（B）除（A）类所描述元件外，还含电流源；
（C）除（B）类所述元件外，还含受控源。
设（A）类电路如图2-2所示。在选定网孔电流$i_{\text{M1}}$、$i_{\text{M2}}$、$i_{\text{M3}}$后，可为每一网孔列写一个KVL方程，以网孔电流的参考方向作为列方程时的回路绕行方向，可得

图2-2 网孔分析法用图

\[\begin{array}{c} R_1 i_{\text{M1}} + R_5(i_{\text{M1}}+i_{\text{M2}}) + R_4(i_{\text{M1}}-i_{\text{M3}}) + u_{\text{S4}} - u_{\text{S1}} = 0\\ R_2 i_{\text{M2}} + R_5(i_{\text{M2}}+i_{\text{M1}}) + R_6(i_{\text{M2}}+i_{\text{M3}}) - u_{\text{S2}} = 0 \\ R_3 i_{\text{M2}} + R_4(i_{\text{M3}}-i_{\text{M1}}) + R_6(i_{\text{M3}}+i_{\text{M2}}) - u_{\text{S4}} - u_{\text{S3}} = 0 \end{array} \Biggr\} \tag{2-1} \]

经过整理得

\[\begin{array}{c} (R_1+R_4+R_5)i_{\text{M1}} + R_5i_{\text{M2}}-R_4i_{\text{M3}} = u_{\text{S1}} - u_{\text{S4}} \\ R_5 i_{\text{M1}}+(R_2+R_5+R_6)i_{\text{M2}} + R_6i_{\text{M3}} = u_{\text{S2}}\\ -R_4 i_{\text{M1}} + R_6 i_{\text{M2}} +(R_3 + R_4 + R_6)i_{\text{M3}} = u_{\text{S3}} + u_{\text{S4}} \end{array} \Biggr\} \tag{2-2} \]

已知各电压源电压及电阻，就可解出网孔电流，各支路电流即可进一步算出。这样，6个未知的支路电流都能求出，但只需解三个联立方程。
对于上图所示这类只含电压源及电阻的电路建立网孔方程是容易的，根据观察即能列出。可以把(2-2)式概括为如下的形式：

\[\begin{array}{c} R_{11} i_{\text{M1}} + R_{12} i_{\text{M2}} + R_{13} i_{\text{M3}} = u_{\text{S11}}\\ R_{21} i_{\text{M1}} + R_{22} i_{\text{M2}} + R_{23} i_{\text{M3}} = u_{\text{S22}}\\ R_{31} i_{\text{M1}} + R_{32} i_{\text{M2}} + R_{33} i_{\text{M3}} = u_{\text{S33}} \end{array} \Biggr\} \tag{2-3} \]

式中：$R_{11}$、$R_{22}$、$R_{33}$分别称为网孔1、2、3的自电阻（self resistance），分别为各自网孔内所有电阻总和，例如$R_{11}=R_1+R_4+R_5$。
$R_{12}$称为网孔1与网孔2的互电阻（mutual resistance）,是两个网孔的公共电阻。其正负值要视有关的网孔电流流过公共电阻时其相互的方向关系如何而定，同向为正，异向为负。且 $R_{12} = R_{21}$、$R_{23} = R_{32}$、$R_{13} = R_{31}$。
$u_{\text{S11}}$、$u_{\text{S22}}$、$u_{\text{S33}}$ 分别为网孔 1、网孔 2、网孔 3中各电压源电压升的代数和。

网孔电流法的本质：一组以网孔电流表示的KVL方程

对于（B）、（C）类电路运用网孔电流法时，直接列些KVL方程，不使用自电阻、互电阻的概念。
由两个以电流源（也可以是受控电流源）为公共边界的网孔组成的“大”网孔称为超网孔，利用超网孔列些网孔电流方程，可避免增添电流源电压项的麻烦。

$\S$ 2-2 节点分析

求解节点电压所需的方程组只能来自KCL和支路的VCR。下面将分三种类型电路来说明，即：
（A'）含线性电导和电流源；
（B）除（A'）类所描述元件外，还含电压源；
（C）除（B）类所述元件外，还含受控源。
连同$\S$ 2-1 所述，电阻电路可分为（A）、（A'）、（B）、（C）四种类型。

图2-3 节点分析法用图

设（A'）类电路如图2-3所示。在选定参考节点和节点电压$u_{\text{N1}}$、$u_{\text{N2}}$、$u_{\text{N3}}$后，在节点1、2、3处运用KCL得

\[\begin{array}{c} i_1 + i_4 - i_{\text{S1}} = 0 \\ i_2 - i_1 -i_{\text{S2}} = 0 \\ i_3 - i_4 + i_{\text{S2}}= 0 \end{array} \Biggr\} \tag{2-4} \]

除电流源支路外，对电阻支路运用欧姆定律得

\[\begin{array}{c} G_1(u_{\text{N1}} - u_{\text{N2}}) = i_1 \\ G_2 u_{\text{N2}} = i_2 \\ G_3 u_{\text{N3}} = i_3 \\ G_4(u_{\text{N1}} - u_{\text{N3}}) = i_4 \end{array} \Biggr\} \tag{2-5} \]

将$(2-5)$代入$(2-4)$得，

\[\begin{array}{c} G_1(u_{\text{N1}} - u_{\text{N2}}) + G_4(u_{\text{N1}} - u_{\text{N3}}) = i_{\text{S1}} \\ G_2 u_{\text{N2}} - G_1(u_{\text{N1}} - u_{\text{N2}}) = i_{\text{S2}} \\ G_3 u_{\text{N3}} - G_4(u_{\text{N1}} - u_{\text{N3}}) = -i_{\text{S2}} \end{array} \Biggr\} \tag{2-6} \]

经过整理得

\[\begin{array}{c} (G_1 + G_4)u_{\text{N1}} - G_1 u_{\text{N2}} - G_4 u_{\text{N3}} = i_{\text{S1}} \\ -G_1 u_{\text{N1}} + (G_1 +G_2)u_{\text{N2}} = i_{\text{S2}} \\ -G_4 u_{\text{N1}} + (G_3 +G_4)u_{\text{N3}} = -i_{\text{S2}} \end{array} \Biggr\} \tag{2-7} \]

对于(A')类三独立节点电路，从电路观察即能直接列出像$(2-7)$这样的方程，可把$(2-7)$概括为如下的形式：

\[\begin{array}{c} G_{11} u_{\text{N1}} + G_{12} u_{\text{N2}} + G_{13} u_{\text{N3}} = i_{\text{S11}}\\ G_{21} u_{\text{N1}} + G_{22} u_{\text{N2}} + G_{23} u_{\text{N3}} = i_{\text{S22}}\\ G_{31} u_{\text{N1}} + G_{32} u_{\text{N2}} + G_{33} u_{\text{N3}} = i_{\text{S33}} \end{array} \Biggr\} \tag{2-8} \]

式中：$G_{11}$、$G_{22}$、$G_{33}$分别称为节点1、2、3的自电导（self conductance），它们分别是连接于节点1、2、3上所有电导总和，例如$G_{11}=G_1+G_4$。

$R_{12}$称为网孔1与网孔2的互电阻（mutual resistance）,是两个网孔的公共电阻。其正负值要视有关的网孔电流流过公共电阻时其相互的方向关系如何而定，同向为正，异向为负。且 $R_{12} = R_{21}$、$R_{23} = R_{32}$、$R_{13} = R_{31}$。
$u_{\text{S11}}$、$u_{\text{S22}}$、$u_{\text{S33}}$ 分别为网孔 1、网孔 2、网孔 3中各电压源电压升的代数和。

网孔电流法的本质：一组以网孔电流表示的KVL方程

线性性质是线性电路的基本性质，它包括齐次性(或比例性)和叠加性(或可加性)。所谓线性电路是指由线性元件、线性受控源及独立源组成的电路。齐次定理和叠加定理就是线性电路具有齐次和叠加特性的体现。