前言
典例剖析
分析：利用假分数的性质\(\cfrac{b}{a}>\cfrac{b+m}{a+m}\)(\(b>a\)) 和相关变形 \(\log_ab=\log_a{(a\times\cfrac{b}{a})}=1+\log_a{\cfrac{b}{a}}\)来处理；
将 \(\log_23=\log_2(2\times \cfrac{3}{2})=1+\log_2\cfrac{3}{2}\)，同理，\(\log_34=1+\log_3\cfrac{4}{3}\)，\(\log_45=1+\log_4\cfrac{5}{4}\)，这样，关键是比较 \(\log_2\cfrac{3}{2}\) 与 \(\log_3\cfrac{4}{3}\) 与 \(\log_4\cfrac{5}{4}\) 的大小关系；又由于 \(\cfrac{3}{2}>\cfrac{3+1}{2+1}=\cfrac{4}{3}\)，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{4+1}{3+1}=\cfrac{5}{4}\)，故可以利用先取同底数的对数，再结合不同底数真数相同的对数值来传递大小关系即可。
【法1】：由于 \(\cfrac{3}{2}>\cfrac{4}{3}>0\)，两边同时取以 \(2\) 为底的对数，
得到 \(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_2\cfrac{4}{3}\)，又 \(\log_2\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{4}{3}\)[底数相同真数不相同]，
所以，可得到 \(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}\)，①
同理同法，由于 \(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}>0\)，两边同时取以 \(3\) 为底的对数，
得到 \(\log_3\cfrac{4}{3}>\log_3\cfrac{5}{4}\)，又 \(\log_3\cfrac{5}{4}>\log_4\cfrac{5}{4}\)[底数相同真数不相同]，
所以，可得到 \(\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}\)，②
由①②可得，\(\log_2\cfrac{3}{2}>\log_3\cfrac{4}{3}>\log_4\cfrac{5}{4}\)，对双连不等式的左中右同时\(+1\)，
得到 \(1+\log_2\cfrac{3}{2}>1+\log_3\cfrac{4}{3}>1+\log_4\cfrac{5}{4}\)，
整理即得到，\(\log_23>\log_34>\log_45\) .