加法原理、乘法原理

加法原理

应该是最简单一个了（没有之一）。
若完成一件事情有 $n$ 类办法，$\Large{a_i(1\leq i\leq n)}$ 代表第 $i$ 类方法个数，那么完成这件事的方法就有 $\Large{S=a_1+a_2+\cdots+a_n}$ ，等于 $\Large{S=\sum{^n_{i=1}}a_i}$ 种。

若完成一件事情有 $n$ 个步骤，$\Large{a_i(1\leq i\leq n)}$ 代表第 $i$ 步方法个数，那么完成这件事的方法就有 $\Large{S=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n}$ ，等于 $\Large{S=\prod{^n_{i=1}a_i}}$ 种。

在 $n$ 个元素中取出 $m$ $(m\leq n)$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 $\Large{A{^m_n}}$ 表示。
排列数有序，如 $1,2$ 和 $2,1$ 属于两个排列。
计算公式 $\Large{A{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m-1)=\frac{n!}{(n-m)!}}$ 。
全排列属于一种特殊的排列数， $\Large{A{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots3\times2\times1=n!}$

在 $n$ 个元素中取出 $m$ $(m\leq n)$ 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。用符号 $\Large{C{^m_n}}$ 或 $\dbinom{n}{m}$ 表示。
组合数，集合无序，如 $1,2$ 和 $2,1$ 属于一个集合。
计算公式 $\dbinom{n}{m}=\dfrac{A{^m_n}}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

其实跟杨辉三角是很相似的。$\large (a+b)^n= \sum \limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}a^{i}b^{n-i}$
证明：假设当 $n=m$ 时成立，则 $n=m+1$ 时，显然就有 $$\large(a+b)^{{m+1}=(a+b)(a+b)}m$$ 因为假设 $n=m$ 时成立，所以能得出 $$\large (a+b)(a+b)^m=(a+b)\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i}$$ 将其与 $a+b$ 相乘，得 $$\large (a+b)\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i}=\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i}+\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i+1}$$ 再将其转化到 $\sum$ 上，得 $$\large \sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i}+\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i+1}=\sum \limits_{i=1}^{{m+1}\dbinom{m}{i-1}a}b^{m-i+1}+\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i+1}$$ 之后因为 $\large\dbinom{m}{i-1}+\dbinom{m}{i}=\dbinom{m+1}{i}$ ，所以 $$\large \sum \limits_{i=1}^{{m+1}\dbinom{m}{i-1}a}b^{m-i+1}+\sum \limits_{i=0}^{{m}\dbinom{m}{i}a}b^{m-i+1}=\sum \limits_{i=0}^{m+1} \dbinom{m}{i-1}\dbinom{m}{i}a^{i}b$$ 最后结果是 $$\large \sum \limits_{i=0}^{m+1} \dbinom{m+1}{i}a^{i}b=\sum \limits_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i}a^{i}b$$ 所以二项式定理正确。