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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
虚数单位的性质
\(i\)叫做虚数单位，并规定：
① \(i\)可与实数进行四则运算；
② \(i^2=-1\)，这样方程\(x^2=-1\)就有解了，解为\(x=-i\)，\(x=i\).
③ \(i^2=-1\) ，\(i^3=-i\) ，\(i^4=1\) ，\(i^n\)以\(4\)为周期，即\(i^{4+n}=i^n\).
【例】 \(i^{2023}=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
解 \(i^{2023}=i^{4×550+3}=i^3=-i\).
复数的概念
① 定义
形如\(a+bi(a ，b∈R)\)的数叫做复数，其中\(i\)叫做虚数单位，\(a\)叫做实部，\(b\)叫做虚部.
全体复数所成的集合\(C\)叫做复数集.
复数通常用\(z\)字母表示，即\(z=a+bi (a ，b∈R)\).
【例】 \(z=3-4i\)的实部是\(3\)，虚部是\(-4\).
② 分类
\(z=a+b i=\left\{\begin{array}{cc}
b=0 & \text { 实数 } \\
b \neq 0 & \text { 虚数 } \\
a=0 \text { 且 } b \neq 0 & \text { 纯虚数 }
\end{array}\right.\)
理解：当复数\(z=a+bi\)中不存在\(i\)，它就是实数，那显然\(b=0\)；若复数\(z\)是虚数，则\(z\)中要存在\(i\)，则\(b≠ 0\).
【例】 \(1+2i\)，\(-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2} i\)，\(3i\)是虚数，而其中\(3i\)是纯虚数.
复数的几何意义
① 复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，\(x\)轴叫做实轴，\(y\)轴叫做虚轴.
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数 \(z=a+b i\)\(\stackrel{\text {一一 对应 }}{\longleftrightarrow}\)复平面内的点\(Z(a，b)\)，
【例】 复数\(1-2i\)对应复平面上的点\((1，-2)\)，复数\(3i\)对应复平面上的点\((0，3)\).
② 复数的几何意义
复数\(z=a+b i\)与复平面内的点\(Z(a ，b)\)及平面向量 \(\overrightarrow{O Z}=(a， b)\) \((a ，b∈R)\)是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.
③ 复数的模
向量 \(\overrightarrow{O Z}\)的模叫做复数\(z=a+b i\)的模，记作\(|z|\)或\(|a+b i|\)，表示点\((a ，b)\)到原点的距离，
即 \(|z|=|a+b i|=\sqrt{a^2+b^2}\) ，\(|z|=|\bar{z}|\)，
【例】 若\(z=3+4 i\)，则\(z\)的模 \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
复数相等
\(a+b i=c+d i⇔ a=c ，b=d(a ，b ，c ，d∈ R)\)
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.
PS 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小，比如说\(1+3i>1+2i\)是错误的.
共轭复数
\(z=a+bi\)的共轭复数记作 \(\bar{z}=a-b i(a， b \in R)\)，易得 \(z \cdot \bar{z}=a^2+b^2\).
【例】 复数\(z=1-2i\)的共轭复数是 \(\bar{z}=1+2 i\).
基本方法
【题型1】 复数的概念与分类
【典题1】 \(\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\cdots+\mathrm{i}^{2017}=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
解析 \(\because i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0\)且\(i^n\)以\(4\)为周期，
\(\therefore i+i^2+i^3+\cdots+i^{2017}=0 \times 504+i^{2017}=i\).
点拨 \(i^2=-1\) ，\(i^3=-i\) ，\(i^4=1\) ，\(i^n\)以\(4\)为周期，即\(i^{4+n}=i^n\).
【典题2】求当\(a\)为何实数时，复数\(z= (a^2-2a-3)+ (a^2+a-12)i\)满足：
(1)\(z\)为实数； \(\qquad \qquad \qquad\) (2)\(z\)为纯虚数；
解析 复数\(z= (a^2-2a-3)+ (a^2+a-12)i\)．
(1)若\(z\)为实数，则\(a^2+a-12=0\)，解得\(a=-4\)或\(a=3\)；
(2)若\(z\)为纯虚数，则 \(\left\{\begin{array}{l}
a^2-2 a-3=0 \\
a^2+a-12 \neq 0
\end{array}\right.\)，解得\(a=-1\).
【巩固练习】
1.复数\(3-4 i\)的虚部是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.若复数\((m^2-3m)+(m^2-5m+6)i\)是纯虚数，则实数\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.若复数\(z=(m-2)+(m+1)i\)为纯虚数(\(i\)为虚数单位)，其中\(m∈R\)，则\(|z|=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
4.当实数\(x\)取何值时，复数\(z=(x^2-1)+(x+1)i\).
(1)是实数？\(\qquad \qquad \qquad\) (2)是纯虚数？
参考答案
-
答案 \(-4\)
-
答案 \(0\)
解析 \(\because\) 复数\((m^2-3m)+(m^2-5m+6)i\)是纯虚数，
\(\therefore m^2-3m=0\)且\(m^2-5m+6≠0\)，
\(\therefore m=0\)，\(m=3\)且\(m≠2\)，\(m≠3\)，
\(\therefore m=0\). -
答案 \(3\)
解析 由\(z\)是纯虚数可知\(m=2\)，这时\(z=3i\)，故\(|z|=|3i|=3\)． -
答案 (1) \(x=-1\)；(2)\(x=1\)．
解析 (1) \(\because z\)是实数，\(\therefore x+1=0\)，解得\(x=-1\)；
(2) \(\because z\)是纯虚数， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} x^2-1=0 \\ x+1 \neq 0 \end{array}\right.\)，解得\(x=1\)．
【题型2】 复数的几何意义
【典题1】 在复平面内，复数\(6+5i\)，\(-2+3i\)对应的点分别为\(A\)，\(B\)．若\(C\)为线段\(AB\)的中点，则点\(C\)对应的复数是( )
A．\(4+8i\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(8+2i\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(2+4i\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(4+i\)
解析 复数\(6+5i\)对应\(A\)点坐标为\((6，5)\)，\(-2+3i\)对应\(B\)点坐标为\((-2，3)\)．
由中点坐标公式知\(C\)点坐标为\((2，4)\)，
\(\therefore\)点\(C\)对应的复数为\(2+4i\)．故选\(C\)．
点拨 复数\(z=a+b i\)在复平面内对应点\((a，b)\).
【典题2】设\(z∈C\)，满足下列条件的点\(Z\)的集合是什么图形？
①\(|z|=\sqrt{2}\)；\(\qquad \qquad \qquad\) ②\(|z|≤3\)．
解析 设\(z=x+yi(x，y∈R)\)，
①\(|z|=\sqrt{2}\)，\(\therefore\)点\(Z\)的集合是以原点为圆心，以\(\sqrt{2}\)为半径的圆．
②\(|z|≤3\)，\(\therefore\) 点\(Z\)的集合是以原点为圆心，以\(3\)为半径的圆及其内部．
【典题3】已知复数\(z_1=-3+4i\) ，\(z_2=a-3i(a∈R)\)．\(z_1\)，\(z_2\)对应的向量分别为 \(\overrightarrow{O Z_1}\)， \(\overrightarrow{O Z_2}\)，且 \(\overrightarrow{O Z_1} \perp \overrightarrow{O Z_2}\)，则\(a=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
解析 依题意 \(\overrightarrow{O Z_1}=(-3，4)\)， \(\overrightarrow{O Z_2}=(a，-3)\)，
由于 \(\overrightarrow{O Z_1} \perp \overrightarrow{O Z_2}\)，
所以 \(\overrightarrow{O Z_1} \cdot \overrightarrow{O Z_2}=0\)，
即\(-3a-12=0\)，解得\(a=-4\)．
【巩固练习】
1.在复平面内，复数\(z=-\sqrt{3}+i\)（\(i\)为虚数单位）对应的点位于第\(\underline{\quad \quad}\)象限．
2.已知复数\(z\)是纯虚数，且\(|z|=4\)，则复数\(z\)在复平面内对应的点的坐标是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知复数\(x^2-6x+5+(x-2)i\)在复平面内对应的点在第三象限，则实数\(x\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.在复平面内，向量 \(\overrightarrow{O A}\)表示的复数为\(1+i\)，将向量 \(\overrightarrow{O A}\)向右平移\(1\)个单位后，再向上平移\(2\)个单位，得到向量\(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\)，则向量 \(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\)对应的复数是\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知向量 \(\overrightarrow{O A}\)对应的复数是\(4+3i\)，点\(A\)关于实轴的对称点为\(A_1\)，将向量 \(\overrightarrow{O A_1}\)平移，使其起点移动到\(A\)点，这时终点为\(A_2\)．
(1)求向量\(\overrightarrow{O A_1}\)对应的复数； \(\qquad \qquad \qquad\) (2)求点\(A_2\)对应的复数．
参考答案
-
答案 二
解析 复数\(z=-\sqrt{3}+i\)对应的点\((-\sqrt{3}，1)\)位于第二象限． -
答案 \((0，4)\)或\((0，-4)\)
**解析 **设\(z=bi(b∈R\)，且\(b≠0)\)，由\(|z|=4\)得 \(\sqrt{b^2}=4\)，所以\(b=±4\)，即\(z=±4i\)，
故\(z\)对应的点的坐标是\((0，4)\)或\((0，-4)\)． -
答案 \(1<x<2\)
解析 因为复数\(x^2-6x+5+(x-2)i\)在复平面内对应的点在第三象限，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} x^2-6 x+5<0 \\ x-2<0 \end{array}\right.\)，所以 \(\left\{\begin{array}{l} 1<x<5 \\ x<2 \end{array}\right.\)，所以\(1<x<2\)．
即\(1<x<2\)为所求实数\(x\)的取值范围． -
答案 \(1+i\)
解析 在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向 量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以 \(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}=\overrightarrow{O A}\)．因此向量\(\overrightarrow{O^{\prime} A^{\prime}}\)对应的复数仍然是\(1+i\)． -
答案 (1) \(4-3i\) ；(2) \(8\)
解析 (1)\(\because\)向量 \(\overrightarrow{O A}\)对应的复数是\(4+3i\)，
\(\therefore\)点\(A\)对应的复数也是\(4+3i\)，
因此点\(A\)坐标为\((4，3)\)，
\(\therefore\)点\(A\)关于实轴的对称点\(A_1\)为\((4，-3)\)，
故向量\(\overrightarrow{O A_1}\)对应的复数是\(4-3i\)；
(2)依题意知 \(\overrightarrow{O A_1}=\overrightarrow{A A_2}\)，而 \(\overrightarrow{O A_1}=(4，-3)\)，
设\(A_2 (x，y)\)，则有\((4，-3)=(x-4，y-3)\)，
\(\therefore x=8\)，\(y=0\)，即\(A_2 (8，0)\)，
\(\therefore\)点\(A_2\)对应的复数是\(8\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.复数 \(i+i^2+i^3+\cdots \ldots+i^{2020}+i^{2021}\)的值为( )
A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(1+ i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-1-i\)
2.已知\(x\)，\(y∈ R\)，\(i\)为虚数单位，且\((x-2) i-y=1+i\)，则 \((1+i)^{x+y}\)的值为( ).
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(4+4 i\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2i\)
3.若\(a\)为实数，复数\(z=a-2i\)在复平面上位于第四象限，且\(|z|=\sqrt{5}\)，则\(a=\)( )
A．\(±1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)
4.给出复平面内的以下各点：\(A(3，1)\)，\(B(-2，0)\)，\(C(0，4)\)，\(D(0，0)\)，\(E(-1，-5)\)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
5.若 \(z=2-i^{2023}\)，则\(z\)在复平面内对应的点位于第\(\underline{\quad \quad}\)象限．
6.设\(z\)为纯虚数，且\(|z-1|=|-1+i|\)，则复数\(z=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
7.已知\(a∈R\)，则复数\((a^2+a+1)-(a^2-2a+3)i\)对应的点在复平面内的第\(\underline{\quad \quad}\)象限．
8.设\(z=a+bi(a，b∈R)\)，求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形．
(1)\(|a|<2\)，且\(|b|<2\)；\(\qquad \qquad\) (2)\(|z|≤2\)，且\(|b|>1\)；\(\qquad \qquad\) (3)\(|z|=2\)，且\(a>b\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\because i^2=-1\)，\(i^3=-i\)，\(i^4=1\)，
\(\therefore i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{2021}=505\left(i+i^2+i^3+i^4\right)+i^{2021}\)
\(=505(i-1-i+1)+\left(i^2\right)^{1010} \cdot i=0+i=i\)
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由\((x-2)i-y=1+i\)，可得 \(\left\{\begin{array} { c } { x - 2 = 1 } \\ { - y = 1 } \end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{c} x=3 \\ y=-1 \end{array}\right.\right.\)，
\(\therefore(1+i)^{x+y}=(1+i)^2=2 i\)，故选\(D\). -
答案 \(C\)
解析 由\(z=a-2i\)在复平面上位于第四象限知\(a>0\)，
由\(|z|=\sqrt{5}\)得\(a^2+4=5\)，\(\therefore a=1\)，
故选\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 \(A\)，\(C\)，\(E\)三点对应的复数分别为\(3+i\)，\(4i\)，\(-1-5i\)，是虚数，\(B\)，\(D\)对应的是实数，因此共有\(3\)个点． -
答案 一
解析 \(i^{2023}=\left(i^4\right)^{505} \cdot i^3=-i\)，
则 \(z=2-i^{2023}=2+i\)
故\(z\)在复平面内对应的点\((2，1)\)位于第一象限． -
答案 \(±i\)
解析 \(\because z\)为纯虚数，
\(\therefore\)设\(z=ai(a∈R\)，且\(a≠0)\)，则 \(|z-1|=|a i-1|=\sqrt{a^2+1}\)．
又\(\because |-1+i|=\sqrt{2}\)，
\(\therefore \sqrt{a^2+1}=\sqrt{2}\)，即\(a^2=1\)，
\(\therefore a=±1\)，即\(z=±i\)． -
答案 四
解析 由 \(a^2+a+1=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)，\(-(a^2-2a+3)=-(a-1)^2-2<0\)，
故复数对应点在第四象限． -
答案
解析 (1)在复平面上，满足不等式\(|a|<2\)的点组成的图形是位于两条平行直线\(x=±2\)之间的长条带状(不包括两条平行直线)．满足不等式\(|b|<2\)的点组成的图形是位于两条平行直线\(y=±2\)之间的长条带状(不包括两条平行直线)，两者的公共部分即为所求．即以原点为中心，边长等于\(4\)，各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点，但不包括边界，如图\(1\)所示．
(2)不等式\(|z|≤2\)的解集对应的点是以原点为圆心，以\(2\)为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形．满足条件\(|b|>1\)的点是直线\(y=1\)以上及直线\(y=-1\)以下的点，两者的公共部分即为所求．即以原点为圆心、以\(2\)为半径的圆被直线\(y=±1\)所截得的两个弓形，但不包括弦上的点，如图\(2\)所示．
(3)方程\(|z|=2\)的对应点的集合是以原点为圆心，以\(2\)为半径的圆周．满足条件\(a>b\)的点组成的图形是位于直线\(y=x\)下方的半平面，其中不包括直线\(y=x\)上的点．两者的公共部分即为所求，如图\(3\)所示．
【B组---提高题】
1.已知关于\(x\)的方程，\(x^2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0(a，b∈R^+)\)总有实数解，则\(a+b\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.若 \(\theta \in\left(\dfrac{3 \pi}{4}， \dfrac{5 \pi}{4}\right)\)，则复数 \(z=(\cos \theta+\sin \theta)+(\sin \theta-\cos \theta) i\)在复平面内所对应的点在第\(\underline{\quad \quad}\)象限.
3.已知 \(z_1=x^2+\sqrt{x^2+1} i\)，\(z_2=(x^2+a)i\)对任意的\(x∈R\)均有\(|z_1 |>|z_2 |\)成立，试求实数\(a\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \([2，+∞)\)
解析 \(\because x^2+2(1+i)x+ab+(a+b)i=0\)
得\(x^2+2x+ab+(a+b+2x)i=0\)有实数解，
\(\therefore x^2+2x+ab=0\)，\(a+b+2x=0\)，
消去\(x\)得\(\dfrac{1}{4} (a+b)^2－(a+b)+ab=0\)，
\(\because a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)，
\(\therefore 0=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-(a+b)+a b \leq \dfrac{1}{4}(a+b)^2-(a+b)+\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)，
即\(\dfrac{1}{4} (a+b)^2－(a+b)+\dfrac{1}{4} (a+b)^2≥0\)
则\(\dfrac{1}{2} (a+b)^2－(a+b)≥0\)
\(\because a\)，\(b∈R^+\)，\(\therefore a+b>0\)，
即\(a+b≥2\)，
即\(a+b\)的取值范围是\([2，+∞)\)，
故答案为\([2，+∞)\). -
答案 二
解析 \(\cos \theta+\sin \theta=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\)， \(\sin \theta-\cos \theta=\sqrt{2} \sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\)．
因为\(\theta \in\left(\dfrac{3 \pi}{4}， \dfrac{5 \pi}{4}\right)\)，所以 \(\theta+\dfrac{\pi}{4} \in\left(\pi， \dfrac{3 \pi}{2}\right)\)， \(\theta-\dfrac{\pi}{4} \in\left(\dfrac{\pi}{2}， \pi\right)\)．
因此 \(\cos \theta+\sin \theta<0\)， \(\sin \theta-\cos \theta>0\)，
所以复数\(z\)在复平面内对应的点在第二象限． -
答案 \(\left\{a \mid-1<a \leq \dfrac{1}{2}\right\}\)
解析\(\because z_1=x^2+\sqrt{x^2+1} i\)，\(z_2=(x^2+a)i\)，且\(|z_1 |>|z_2 |\)，
\(\therefore \sqrt{x^4+x^2+1}>\left|x^2+a\right| \Leftrightarrow(1-2 a) x^2+\left(1-a^2\right)>0\)恒成立．
不等式等价于①：\(1-2a=0⇒a=\dfrac{1}{2}\)，
即\(a=\dfrac{1}{2}\)时，\(0 \cdot x^2+\left(1-\dfrac{1}{4}\right)>0\)恒成立．
或②： \(\left\{\begin{array}{l} 1-2 a>0 \\ \Delta=-4(1-2 a)\left(1-a^2\right)<0 \end{array} \Rightarrow-1<a<\dfrac{1}{2}\right.\)．
\(\therefore a \in\left(-1， \dfrac{1}{2}\right)\).
综上可得，\(a\)的取值范围是\(\left\{a \mid-1<a \leq \dfrac{1}{2}\right\}\)．