A
构造题，分两种情况考虑
- 上下都行，左右选一个
- 左右都行，上下选一个
void solve() {
int n;
cin >> n;
vector<pair<int, int> > a(n);
for(auto &t : a) cin >> t.x >> t.y;
sort(a.begin(), a.end());
bool okx = a[0].x * a.back().x >= 0;
for(auto &t : a) swap(t.x, t.y);
sort(a.begin(), a.end());
bool oky = a[0].x * a.back().x >= 0;
cout << (okx | oky ? "YES\n" : "NO\n");
}
B
也是构造，这里介绍两种方法
法一 ： 二进制拆分
考虑只去模 \(2^k\)
把每个数二进制拆分，模 \(2^k\) 的结果即为这个数的 $[0, k - 1] $位
一直往上枚举 \(k\)，直到所有数的 $[0, k - 2] $位相同，第 \(k - 1\) 位不同
void solve() {
int n;
cin>> n;
vector<ll> a(n);
for(ll &x : a) cin >> x;
auto check = [&](ll p) -> bool {
set<ll> se;
for(int i = 0; i < n; ++ i) se.insert(a[i] % p);
return se.size() == 2;
};
for(int i = 1; ; ++ i) {
if(check(1ll << i)) {
cout << (1ll << i) <<'\n';
return;
}
}
}
法二 ： 数学
令
\[x = gcd\{a[1] - a[0], a[2] - a[1], a[3]- a[2], ... , a[n - 1] - a[n - 2]\}
\]
此时
\[ans = 2x
\]
考虑去如何证明
不难得到
\[\forall i \in [1, n),\hspace{0.3cm} x \mid a[i] - a[i - 1]
\]
换句话说，此时所有数模\(x\)结果相同
不妨设
\[a[i] = p_ix + q
\]
- 若\(p_i\)为偶数，则\(a[i] \bmod 2x = q\)
- 若\(p_i\)为奇数，则\(a[i] \bmod 2x = x + q\)
由于\(q < x\), 所以\(x + q < 2x\)
又$x \neq 0, 所以 \(q \neq x + q\)
- p中既有奇数又有偶数，显然成立
- p全为奇数或全为偶数，则此时\(gcd\{a[i] - a[i - 1]\}\)一定为\(2x\)的倍数， 与最大为\(x\)矛盾