东京大学 2022 数学考试题解 -526互联

1.定义$$
2.定义数列$\{a\}$：$a_1=1,a_{n+1}=a_n^2+1$
1.证明：当$n$能被$3$整除，$a_n$能被$5$整除。
写出$\{a\mod 5\}$的前四项：$1,2,0,1$，所以数列的循环节为3，且$a_{3k}\mod 5=0$
2.设$k,n$是正整数，用$k,n$表达$a_k|a_n$的充要条件
考虑数列每项$\mod a_k$的数列${b}$。
$b_k=0$,$b_l=(b_{l-1}^2+1)\mod b_l$
当$b_l^2+1<a_k,b_{l+1}=b_l^2+1$，当$a_k>1,b_{k+1}=1$
当$b_l^2+1<a_k$，$b_{l+1}=b_l^2+1$，所以$b_{l+k}=a_{l}$
又因为$b_{2k}=a_k \mod a_k=0$，所以当$n=2k$，$a_k|a_n$
同理，当$k>0$$b_{lk}$
所以当$p>0,n=2^{p}k$时，$a_k|a_n$