前缀和、差分

前缀和可以快速求区间和。
差分相当于前缀和的逆运算。
前缀和、差分都是以空间换时间的算法

前缀和

定义
前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。

一维前缀和

题目一

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];
int main(){
    int n, m;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    scanf("%d", &m);
    while(m -- ){
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

题目二

Acwing 795. 前缀和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];
int main(){
    int n, m, l, r;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    while(m -- ){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

二维前缀和

题目一

AcWing 796. 子矩阵的和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n, m, q;
int a[N][N];
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for(int j = 1; j <= m; j ++ ){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
        }
    }
    int x1, y1, x2, y2;
    while(q -- ){
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", a[x2][y2] - a[x2][y1 - 1] - a[x1 - 1][y2] + a[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

题目二

Luogu P2280 [HNOI2003] 激光炸弹

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e3 + 2;
int s[N][N];
int main(){
    int n, m, x, y, v;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ){
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
        x ++ , y ++ ;
        s[x][y] += v; // 每个攻击目标都具有v价值,攻击目标有可能重复
    }
    for(int i = 1; i < N; i ++ ){
        for(int j = 1; j < N; j ++ ){
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = m; i < N; i ++ ){
        for(int j = m; j < N; j ++ ){
            res = max(res, s[i][j] - s[i - m][j] - s[i][j - m] + s[i - m][j - m]);
        }
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

差分

定义
差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

一维差分

题目一

Acwing 797. 差分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int main(){
    int n, m, l, r, c, t;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        scanf("%d", &t);
        a[i] += t; // 求差分数组, 相当于b[i] = a[i] - a[i - 1];
        a[i + 1] -= t;
    }
    while(m -- ){
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        a[l] += c;
        a[r + 1] -= c;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        a[i] += a[i - 1];
        printf("%d ", a[i]);
    }
}