1. 神经网络

1.1 神经元

神经元（Neuron）或节点（Node） 是神经网络的基本单元。下图是一个简单的神经元示意图，\(x\) 表示输入（\(\text{Input}\)）， \(x_i\) 表示来自于前面第 \(i\) 个 神经元（\(\text{Neuron}\)）的输入，通常会增加一个虚拟的 \(x_0 = 1\) 用于对应连接当前神经元的权重 \(w\) 中的 偏置量（\(\text{bias}\)）。

在进行数据的加权和偏置处理，以及通过 激活函数 \(\sigma\) 后，得到 隐藏输出（\(\text{Hidden}\)），在图中就是 \(a\)。这是神经网络进行特征学习的所在。

最后生成一个值/向量 \(y\) 作为当前这个神经元的输出（\(\text{Output}\)）。

1.2 神经网络

通常情况下，神经网络有三种类型的层，每个层都由若干个神经元组成：

输入层（\(\text{Input Layer}\)）：这是数据进入神经网络的地方，不进行任何计算。
隐藏层（\(\text{Hidden Layers}\)）：介于输入层和输出层之间的层，可以有一个或多个。隐藏层进行数据的加权和偏置处理，以及激活函数的应用。
输出层（\(\text{Output Layer}\)）：生成最终的输出，如分类预测或回归值。

在输入层到隐藏层、隐藏层到输出层之间，往往都会有 权重矩阵，权重决定了输入对于输出的贡献大小，是神经网络中的可学习参数。

图中，\(x\) 表示输入层，\(W\) 为输入层到隐藏层的权重矩阵，\(h\) 表示隐藏层，\(U\) 为隐藏层到输出层的权值矩阵，\(y\) 为输出层。

假设输入层 \(x \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)，隐藏层 \(h \in \mathbb{R}^{d \times 1}\)，显然权重矩阵 \(W \in \mathbb{R}^{d \times n}\)，通过：

\[\begin{split} h = \sigma(Wx) \end{split} \]

得到隐藏层向量，而这个 \(d\) 就是我们经过加权求和和偏置处理后，提取的特征的数量，相当于将 \(n\) 维度的空间映射到了 \(d\) 维度。隐藏层 \(h\) 往往会再通过一个激活函数 \(\sigma\)，图中没有展示出来。

假设输出层 \(y \in \mathbb{R}^{m \times 1}\)，那么隐藏层到输出层的权重矩阵 \(U \in \mathbb{R}^{m \times d}\)，通过：

\[\begin{split} z &= Uh \\\\ y &= \text{softmax}(z) \end{split} \]

得到输出。不过，往往会再通过一个激活函数，此处一般采用 \(\text{softmax}\)。

2. 正向传播

正向传播 其实就是将一个样本 \(x\) 输入到神经网络，经过多层向前计算，最终得到输出 \(y\) 的过程。

最后，在正向传播结束后产生了预测输出 \(y\)，然后与实际的标签或输出比较，计算 损失函数 \(L\)。

在神经网络中，损失函数 \(L\) 一般采用 交叉熵损失（\(\text{Cross-Entropy Loss}\)），常用于 分类任务。而本篇文章只讨论比较简单的二分类任务，所以用到的是 二分类交叉熵损失 （\(\text{Binary Cross-Entropy}\)）

对于当前问题，我们有如下的损失函数 \(L\) ：

\[\begin{split} L(\hat y, y) &= - \text{log} \; p(y | x) \\\\ &= - \left [ y \text{log} \hat y + (1 - y) \text{log}(1 - \hat y) \right ] \\\\ &= - \left [ y \text{log} \; \sigma(w \cdot x) + (1 - y) \text{log}(1 - \sigma(w \cdot x)) \right ] \end{split} \]

3. 反向传播（BP算法）

3.1 BP算法简介

\(\text{BP}\) 算法，即 反向传播算法（\(\text{Backpropagation Algorithm}\)），是一种用于训练神经网络的常用方法。

在前面，我们定义了损失函数 \(L\)，而反向传播的关键就是将输出误差以一种特定的方式传回网络，用于计算相对于每个权重的误差导数（梯度），而每个权重的梯度则反映了增加或减少这个权重，损失函数的值的变化。

使用这些梯度以及一个学习率参数来更新网络中的权重，我们通常采用 梯度下降法 。

\[w_{t + 1} = w_t - \eta \frac{\partial L}{\partial w} \]

经过反复迭代后，最小化损失函数，得到最优参数（权重）。

但是，我们无法直接得到导数 \(\frac{\partial L}{\partial w}\)，此时就需要向前计算，采用 链式法则 来计算导数：

3.2 典型示例

我们用一个比较简单的示例来理解 \(\text{BP}\) 算法。如下图所示，是一个神经网络（虽然看起来很简陋），经过正向传播后计算出了每个神经元的值以及最后的损失函数值：

然后，我们从损失函数开始需要进行反向传播。因此，我们需要损失函数中每个权重对应的导数。

由链式求导法则：

\[\begin{split} \frac{\partial L}{\partial c} &= e \\\\ \frac{\partial L}{\partial a} &= \frac{\partial L}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial a} = c \\\\ \frac{\partial L}{\partial b} &= \frac{\partial L}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial d} \frac{\partial d}{\partial b} = 2c \end{split} \]

然而实际上的问题不止这么简单，对于一个分类问题，损失函数往往采用 交叉熵损失，且往往涉及激活函数 \(\text{sigmoid}\) 的求导、\(\text{ReLU}\) 的求导。

下图就是一个简单的示例：

图中，输入层 \(x \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\)，输入层到隐藏层的权重矩阵 \(W^{[1]} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\)，经过加权求和以及偏置后得到 \(z^{[1]} \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\)，经过 \(\text{ReLU}\) 函数激活得到隐藏层 \(a^{[1]} \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\)。隐藏层到输出层的权重矩阵 \(W^{[2]} \in \mathbb{R}^{1 \times 2}\)，经过加权求和与偏置得到 \(z^{[2]}\)，然后经过 \(\text{sigmoid}\) 函数（也就是 \(\sigma\)）得到最终的输出层 \(a^{[2]}\)。最后当前的计算损失函数值。

\(\text{sigmoid}\) 函数求导后为 \(\sigma(x)(1 - \sigma(x))\)，具体证明可见 sigmoid函数求导-只要四步

类似于前面那个~~非常简陋的~~例子的过程，采用链式求导法则，可以得到如下导数公式的推导：