ARC161F Everywhere is Sparser than Whole (Judge)

发布时间 2023-05-31 17:06:22作者: 275307894a

题面传送门

先大概移个项 ,就是要你找有没有非空真导出子图满足 \(E-ND\geq 0\)

如果它只问了 \(E-ND>0\) 这是经典的最大权闭合子图模型,令每条边为左部点,每个点为右部点,边的权值为 \(1\),点的权值为 \(-D\),边与对应点连边,如果最终最大权 \(>0\),则存在这么一个子图。

但是 \(E-ND=0\) 的判断就有点困难,因为原图就是满足这个限制的一个导出子图,如果要排除的话那么需要像计算图的荫度那样枚举必须删掉的点,复杂度起码 \(O(N^2D)\)

我们重新审视一下这个最大权闭合子图,其还有一个意义:给每条边恰好匹配了一个点,且每个点匹配的边数恰好为 \(D\)。则我们将一条边定向为从其匹配点指向非匹配点,这样的话一个点有恰好 \(D\) 条出边。我们钦定一条边的贡献在匹配点处计算,则一个点至多能提供 \(D\) 的贡献,所以当我们选择一个点在最终的闭合子图内的时候,其出边对应的点都要在闭合子图内,且反过来也是成立的。所以相当于我们要求一个点,满足这个点能走到的点不是全集,只需要强连通分量缩点以后求逆拓扑序最小的 SCC 里面任意选一个点即可。如果全图强连通那么显然找不到。

时间复杂度是 Dicnic 跑二分图匹配的 \(O((ND)^{1.5})\),不知道这个复杂度为啥要开 \(8\) 秒。submission