构造一个数组 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 满足以下条件
- \(\forall i \in[1, n],\ a_i \neq 0\) 。
- \(\forall i \in [1, n - 1]， a_i + a_{i + 1} = \sum_{i = 1}^{n} a_i\) 。
显然从题中所给等式分析（加、减、乘、除、异或同理）：
- 诸如 \(b_x = \sum_{i = 1}^n a_i - a_{x + y}\) 类，可化为 \(\sum_{i = 1}^{n} b_i = k \sum_{i=1}^n a_i\) 。
- 诸如 \(a_{x} + a_{x + y} = C\) 类，可化为
\[\begin{cases}
a_x = a_{z}, \qquad &z \equiv x (\mod 2y) \\
a_{z} + a_{z + y} = C, \qquad &z \equiv x (\mod 2y)
\end{cases}
\]
- 其他递推式类或生成函数类
此题有
\[\begin{cases}
a_1 = a_{x}, \qquad &x \equiv 1 (\mod 2) ① \\
a_{x} + a_{x + 1} = \sum_{i = 1}^n a_i, \qquad &x \equiv 1 (\mod 2) ②
\end{cases}
\]
根据 \(①\) 可简单确定 \(a\) 的形式为 \([u, v, u, v, u, v, \cdots]\) 。
- 当 \(n\) 为偶数，显然地 \(u\) 和 \(v\) 的关系需要满足 \(v = -u\) 。
- 当 \(n\) 为奇数，\(u + v = \sum_{i=1}^{n}a_i = \frac{n+1}{2}u + \frac{n-1}{2}v\) ，于是有 \(\frac{n-1}{2}u + \frac{n-3}{2}v = 0\) 。于是可以得到 \(u\) 和 \(v\) 的关系为 \(v = -\frac{n-1}{n-3}u\) 。\(n = {1, 3}\) 时，\(u, v\) 可以为 \(0\) ，不满足题意。于是有 \(n \geq 5, 2 \nmid n\) 。
当 \(n\) 为偶数，不妨让 \(u = 1\) 即可构造一个 \(a\) 。否则不妨让 \(u = n - 3, v = 1 - n\) 。
#include <bits/stdc++.h>
void solve() {
int n; std::cin >> n;
if (n & 1 && n < 5) { std::cout << "NO" << '\n'; return; }
std::cout << "YES" << '\n';
if (~n & 1) for (int i = 1, sgn = 1; i <= n; i++, sgn *= -1) std::cout << sgn << " \n"[i==n];
else for (int i = 1; i <= n; i++) std::cout << (i&1?n-3:1-n) << " \n"[i==n];
}
int main() {
int _ = 1; std::cin >> _;
while (_--) { solve(); }
return 0;
}