AT_abc325_f Sensor Optimization Dilemma 题解
Date 20231025：修复手滑公式 \(\min\)、\(\max\) 写反了。
动态规划。类似背包问题。
朴素算法
记 \((x,y)\) 表示使用 \(x\) 个 (1) 传感器、\(y\) 个 (2) 号传感器。
设 \(f(t,i,j)\) 表示覆盖前 \(t\) 个区间，使用 \((i,j)\) 传感器，是否可行。
枚举第 \(t\) 个区间使用 \((p,q)\) 传感器：
\[\boxed{f(t,i,j)=\max\{f(t-1,i-p,j-q)\times[pL_1+qL_2\ge D_i]\}}
\]
状态数 \(NK_1K_2\)，转移量 \(K_1K_2\)，因此，总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(N{K_1}^2{K_2}^2)\)，大约为 \(10^{14}\)，不可过。
考虑优化
每个状态只记录 \(0/1\) 是不是有点浪费呢？
于是就可以考虑一个经典的状态设计优化，将一个状态放在结果里。
我们可以将 \(f(t,i,j)\) 的 \(j\) 放在结果里。
具体的，设 \(f(t,i)\) 表示考虑前 \(t\) 个区间，使用 \(i\) 个 (1) 传感器，最少要使用的 (2) 传感器数量。
明显的，结果为 \(\min\limits_{i=1}^{K_1}\{f(n,i)\}\space(f(n,i)\le K_2)\).
其实这个式子也是有单调性的，但是由于 \(K\le10^3\)，我们可以不用考虑。
考虑转移，也不复杂，与朴素算法类似，我们枚举第 \(t\) 个区间使用 \(k\) 个 \((1)\) 传感器，那么给 \((2)\) 号传感器留了 \(\max(D_i-kL_1,0)\) 的空间：
\[\boxed{f(i,j)=\min\limits_{k=0}^j\Big\{f(i-1,j-k)+\Big\lceil\dfrac{\max(D_i-kL_1,0)}{L_2}\Big\rceil\Big\}}
\]
状态数 \(NK_1\)，转移量 \(K_1\)，因此，总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(N{K_1}^2)\)，大约为 \(10^8\)，可过。