平行线消失点

在我们日常生活中，会发现这样一类现象：在照片或者图画上，原本是平行的物体（比如铁轨轨道，公路等）会随着他们的延伸逐渐相交于视野尽头，这个尽头就被称作消失点，类似于下面这幅图所显示的内容：

铁路图片

为什么原本平行的物体会出现这样的现象呢？我们可以从几何光学的角度直观的分析一下：
首先我们要大概了解眼球看到物体的过程：外界的光线进入眼球后成像的过程，是将一个外界的三维物体投影到视网膜上的过程，眼睛的成像过程可以近似为凸透镜，设u为物距，v为像距，f为焦距则满足公式：

\[\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} \]

我们以眼球凸透镜的光心为原点，由光心指向物体的方向为正向，建立一个右手系，对于任意一个点\((a_x,a_y,a_z)\)，可知物距为\(u=a_z\)，根据公式计算得到像距为

\[v=\frac{uf}{u-f}=\frac{a_zf}{a_z-f} \]

通过几何光学计算得到像的点为

\[\left( -\frac{f}{a_z-f}a_x,-\frac{f}{a_z-f}a_y,v \right) \]

在现实中，相比于外部空间，眼球和它的焦距都是非常小的，所以我们可以粗略的认为，像距和焦距相等的。接着运用变量代换可以发现，随着物体z轴的移动，在视觉平面上投影的线段为

\[y=\frac{a_y}{a_x}x \]

现在空间中有两个与z轴平行的线，那么它们投影在视觉平面上的直线也必然是\(y=Ax\)的形式。显然这些直线在视觉平面上必定相交与一个点\((0,0)\)。这样我们就找到了所有沿Z轴平行线的消失点。

这里需要指出的是，平行线的消失点和平行线的方向是有关系的，这里之所以恰好是\((0，0)\)，根本原因是因为我选择的平行线方向和z轴平行，选择其他方向的平行线就会有其他的消失点。

参考资料