相似对角化

什么样的矩阵能够相似对角化

A_n*n的特征向量能够构成一组基<=>A_n*n有n个无关的特征向量
- A_n*n有n个互不相同的特征值
- A_n*n的每个特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向量个数
实对称矩阵一定可以

特征向量组成了一组基 (P), λ_i 为第i个特征值对应的伸缩因子

相似对角化有什么意义
相似对角化后的对角矩阵
什么样的矩阵需要相似对角化

特征值和秩的关系

特征值和秩的关系 (baidu.com)

特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。

从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。应用到数据挖掘中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大。

函数值变化最快的方向，也就是曲面最陡峭的方向，归一化以后是[0.7071；0.7071]，嗯哼，这恰好是矩阵R的一个特征值，而且它对应的特征向量是最大的。因为这个问题是二阶的，只有两个特征向量，所以另一个特征向量方向就是曲面最平滑的方向。这一点在分析最优化算法收敛性能的时候需要用到。

每个数字都可以在实数域内取值（正、负、零），[公式]可以无限的延伸，联想到现在的大数据，还有什么东西不能由它表示？如果您相信万物皆数，这儿都可以说万物皆矩阵了，万物。

另外，这一堆数既可以表示数据记录，还可以表示某种不知名的抽象运算（物理上叫算子），这样的数学运算，对某些对象集，确仅仅以固有的方式伸缩，且不管它是数据记录还是抽象运算，全都一样！

惯性指数和秩的关系

实对称矩阵合同的充要条件是正负惯性指数相同。
正惯性指数,等于正特征值的个数负惯性指数,等于负特征值的个数正负惯性指数之和,等于非零特征值的个数,也即秩。

特征值和惯性指数的关系

提到惯性指数, 那么A是某个二次型的矩阵
线性代数一般讨论实二次型, 那么A是实对称矩阵矩阵
实对称矩阵总可正交相似对角化
即存在正交矩阵P,满足 P^-1AP = P^TAP = diag(a1,...,an)
-- 这里 a1,...,an 是A的特征值
对应的二次型的标准形即 a1y1^2+...+anyn2
所以A的正特征值的个数就是正惯性指数, 负特征值的个数就是负惯性指数