第3章-函数逼近

3.1 内积空间

3.1.1 内积

设$ f(x), g(x) \in C[a,b], \rho(x)$ 是$[a,b]$上的权函数，积分

\[(f, g) = \int_a^b \rho(x) f(x)g(x) dx \]

称为函数$f(x)$ 与$g(x)$ 在$[a,b]$ 上的内积。

$C[a,b]$ 表示在区间$[a,b]$ 内连续的全体函数组成的集合。

满足内积定义的函数空间称为内积空间。因此，连续函数空间$C[a,b]$ 上定义了内积就形成了一个内积空间。（我的理解是连续函数空间就是内积空间，只是差了个内积定义而已）

内积的四条公理：

$(f, g) = (g,f) $

$(cf, g) = c(f,g) $

$(f_1+f_2, g) = (f_1,g)+(f_2,g) $

$(f,f) \ge 0 $；当且仅当$f=0$ 时，$(f,f) =0 $

3.1.2 欧氏范数

\[||f||_2 = \sqrt{\int_a^b \rho(x)f^2(x)dx} = \sqrt{(f,f)} \]

称为$f(x)$ 的欧氏范数。

3.1.3 带权$\rho(x)$ 正交

若$f(x), g(x) \in C[a,b]$ 满足

\[(f,g) = \int_b^a \rho(x)f(x)g(x)dx = 0 \]

则称$f$ 和$g$ 在$[a,b]$ 上带权$\rho(x)$ 正交。

若函数族$ \phi_0(x), \phi_1(x), \dots ,\phi_n(x), \dots $ 满足

\[ (\phi_j, \phi_k) = \int_a^b \rho(x)\phi_j(x) \phi_k(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, j\ne k \\ A_k > 0, j=k \end{array} \right. \]

就称${\phi_k}$ 是$[a,b]$ 上带权$\rho(x)$ 的正交函数族；
若$A_k \equiv 1$ ，就称之为标准正交函数族。

3.1.4 线性无关

定义与向量的线性无关相似

例如，{$ x^k$ }$, k = 0,1,2\dots$ 就是$C[a,b]$ 上的线性无关函数族

定理：

函数族{$ \phi_k$ }$, k = 0,1,2\dots,n-1$在$[a,b]$上线性无关的充分必要条件：它的克莱姆（Gramer）行列式$G_{n-1} \ne 0$，其中

\[ G_n-1 = G(\phi_0, \phi_1, \dots, \phi_{n-1}) = \left| \begin{array}{ccc} (\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & \dots & (\phi_0, \phi_{n-1}) \\ (\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & \dots & (\phi_1, \phi_{n-1}) \\ \dots & & \dots & \\ (\phi_{n-1}, \phi_0) & (\phi_{n-1}, \phi_0) & \dots & (\phi_{n-1}, \phi_{n-1}) \end{array} \right| \]