底层逻辑

其实想要回答上述问题，就必须理解它的底层逻辑：当电流流过一段导体时，会在导体上产生损耗使导体温度升高；当导体温度超过一定极限温度，导体就会被烧断。

了解了底层逻辑，那问题就简单了，我们只要搞懂两个问题就可以知道答案了。

导体温度(或温度变化量)与流过的电流是什么关系呢？
导体的极限温度又是多少呢？

这其实就是载流导体发热方面的知识，在姚建刚、曹一家、江全元的《电力系统工程学》一书中有详细的介绍。

公式推导

设流过导体的电流是\(I\)，持续时长是\(t\)；导体直流电阻是\(R\)，电阻率是\(\rho_0\)，其电阻温度系数是\(\alpha\)，表面温度是\(\theta\)，长度是\(L\)，截面积是\(S\)，则电流在导体上产生的热量\(Q_1\)为：

\[Q_1=I^2Rt=I^2t\rho_0\frac{(1+\alpha\theta)L}{S}\tag{1} \]

设导体的初始温度是\(\theta_0\)，当前温度是\(\theta\)，导线的比热容是\(C\)，导线的质量是\(m\)，则导线自身温度上升所消耗的热量\(Q_2\)为：

\[Q_2=Cm(\theta-\theta_0)\tag{2} \]

设导线表面温度与环境温度之差(即温升)为\(\tau\)，导线的表面散热面积(不包括两个端面)是\(A(A=ML)\)，\(M\)是导线截面周长，\(L\)是导线长度；导线的综合散热系数是\(K_t\)，\(K_t\)是热对流、热传导和热辐射的综合系数，则导线散热消耗的热量\(Q_3\)为：

\[Q_3=K_tA\tau t=K_tML\tau t\tag{3} \]

并且根据热能守恒可得：

\[Q_1=Q_2+Q_3\tag{4} \]

这就是载流导体的热平衡方程式。

当导体流过瞬态强电流时，由于来不及散热，全部热量将用于导体的温度升高(即\(Q_3=0\))，所以有：

\[Q_1=I^2t\rho_0\frac{(1+\alpha\theta)L}{S}=Q_2=Cm(\theta-\theta_0)\tag{5} \]

由于导体表面温度会随着时间而变化，所以对\(Q_1\)、\(Q_2\)采用微分思想，得微分方程为：

\[I^2\rho_0\frac{(1+\alpha\theta)L}{S}dt=Cmd\theta\tag{6} \]

整理并对两边积分得：

\[\int_0^{t_k}I^2\rho_0\frac L Sdt=\int_{\theta_0}^{\theta_k}Cm\frac1{(1+\alpha\theta)}d\theta\tag{7} \]

即：

\[I^2\rho_0\frac L St_k=\frac{Cm} \alpha\ln{\left(\frac{1+\alpha\theta_k}{1+\alpha\theta_0}\right)}\tag{8} \]

最终得到导体表面温度\(\theta_k\)与电流、时间的关系式为：

\[\left\{ \begin{aligned} &I=\sqrt{\frac{CmS} {\alpha\rho_0 Lt_k}\ln{\left(\frac{1+\alpha\theta_k}{1+\alpha\theta_0}\right)}} \\ &\theta_k=\frac1\alpha\left((1+\alpha\theta_0)e^{\frac{I^2\alpha\rho_0Lt_k}{CmS}}-1\right) \\ \end{aligned} \right. \tag{9}\]

式中：\(\theta_k\)为导体表面温度，单位为\(^\circ C\)；\(\alpha\)为导体电阻温度系数，单位为\(\frac1{^\circ C}\)；\(\theta_0\)为导体表面初始温度，单位为\(^\circ C\)；\(I\)为流过导体的电流，单位为\(A\)；\(\rho_0\)为导体电阻率，单位为\(\Omega·m\)；\(L\)为导体长度，单位为\(m\)；\(t_k\)为电流持续时长，单位为\(s\)；\(C\)为导线的比热容，单位为\(J/(kg·K)\)；\(m\)为导体的质量，单位为\(kg\)；\(S\)为导线的横截面积，单位为\(m^2\)。

设导体的密度为\(\gamma\)，则有：

\[\gamma=\frac m {LS}\tag{10} \]

所以式(9)可转换为：

\[\left\{ \begin{aligned} &I=\sqrt{\frac{C\gamma S^2} {\alpha\rho_0 t_k}\ln{\left(\frac{1+\alpha\theta_k}{1+\alpha\theta_0}\right)}} \\ &\theta_k=\frac1\alpha\left((1+\alpha\theta_0)e^{\frac{I^2\alpha\rho_0t_k}{C\gamma S^2}}-1\right) \\ \end{aligned} \right. \tag{11}\]

因为PCB走线是纯铜，所以通过百度搜索纯铜的特性参数如下：

\[\alpha=3.9*10^{-3}\frac1{^\circ C}\quad\quad\rho_0=1.75*10^{-8}\Omega·m\quad\quad C=395J/(kg·K)\quad\quad \gamma=8.9*10^3kg/m^3 \]

并且通过《PCB走线过孔影响电流承载能力因素分析》一文的实验可知，PCB走线温度达到200℃以上就会有烧断的风险。

PCB走线过流实验

考虑最恶劣的情况，假设PCB走线表面初始温度\(\theta_0=55℃\)，再将上述纯铜的特性参数代入式(11)可得：

\[I=\frac{140*S}{\sqrt {t_k}}\tag{12} \]

式中：\(S\)是指铜的横截面积，单位为\(mm^2\)；\(t_k\)是指熔丝熔断时间或者浪涌作用的时长，单位为秒(s)。

举栗子

示例一：线宽为0.36mm的1oz(35um)铜箔中通过一个40us矩形电流浪涌，该段PCB走线可承受的最大浪涌电流为：

\[I=\frac{140*0.36*35*10^{-3}}{\sqrt{40*10^{-6}}}=278.9A\tag{13} \]

示例二：线宽为0.127mm的1oz(35um)铜箔中通过一个8/20us的雷击浪涌，该段PCB走线可承受的最大浪涌电流约为：

\[I=\frac{140*0.127*35*10^{-3}}{\sqrt{1.4*20*10^{-6}}}=117.9A\tag{14} \]

说明：8/20us为指数波，其浪涌能量可认为是矩形波的1.4倍(参考搞懂TVS管，有这篇文章就够了)。

这里顺便提下我个人工作中走过的坑：

那时的我刚入职场，接了一个金属外壳的项目，当时的产品需求就是需要网口满足4KV浪涌防护，而我只是在器件选型和电路设计时有特别考虑该需求，却没注意到网口走线需要加粗(只走了5mil的宽度，而4KV浪涌在网口产生的浪涌电流为\(\frac{4KV}{42\Omega}=95.2A\))，最终实测，PCB走线直接烧断；后来将走线改为10mil，复测通过。