背景
数值上计算能量本征值往往采用矩阵对角化的方法。第一步是需要生成如下的矩阵：
\[\braket{n|H|n^{\prime}}
\]
在计算这个矩阵的时候，只涉及两个变量：\(n\),\(n^{\prime}\)。因此两重for循环就可以解决这个问题。
但是其他的情况下（如：系统中有两个粒子），需要生成的矩阵变成了：
\[\braket{n_1,n_2|H|n_{1}^{\prime},n_{2}^{\prime}}
\]
这种模式。就涉及到了四个变量，难道要写四重for循环吗？
for循环降维
在计算机存储中高维的矩阵其实都是线性存储的。并且所有的高维数组都可以被拉成一维。
二维
如下图所示的一个N\(\times\)M的二维矩阵，其中N=3，M=3。用\(i\)表示每一个矩阵元的编号，用\(n\)表示矩阵的行编号，用\(m\)表示矩阵的列编号。图中红圈圈中的就是第一行第一列第4个矩阵元，原本我们表示这个矩阵元需要\((1,1)\)，现在可以直接用\(4\)表示。原本我们表示某一个矩阵元需要\((n,m)\)，现在可以直接用\(i=n*M+m\)表示。
三维
通常表示三维矩阵中的一个矩阵元需要\((n,m,l)\)，先利用二维矩阵的处理方法，将前两维看成一维，则矩阵元可以表示为\((n*M+m,l)\),拉成一维以后则可以用\((n*M+m)*L+l\)来表示。
更高维度的表示方法与此类似（逐维降低：四维拉成三维——>三维拉成二维——>二维拉成一维）。
代码展示
//降维前
for(int n1=0;n1<n_1m;n1++){
for(int n2=0;n2<n_2m;n2++){
for(int n11=0;n11<n_1m;n11++){
for(int n21=0;n21<n_2m;n21++>){
pass
}
}
}
}
\\降维后
n = n_1m*n_2m;
for(int i=0;i<n;i++){
n1 = i/n_2m;
n2 = i%n_2m;
for(int j=0;j<n;j++){
n11 = j/n_2m;
n21 = j%n_2m;
}
}
其他的应用
动态分配内存的时候分配二维的地址往往很麻烦，将数组拉成一维然后动态存储也是可以的。