伯努利根据经验发现了以下公式：
\[S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m=\frac {1}{m+1}\sum_{k=0}^m\binom{m+1}kB_kn^{m+1-k}
\]
其中伯努利数由以下递归式定义：
\[\sum_{j=0}^m\binom{m+1}jB_j=[m=0]
\]
设 \(F(z)\) 为伯努利数的 EGF，那么由这个递归式可以导出：
\[F(z)\mathrm e^z=F(z)+z
\]
所以可以得出伯努利数的 EGF 的漂亮封闭形式：
\[F(z)=\frac{z}{\mathrm e^z-1}
\]
然后考虑自然数幂和的 EGF：
\[\begin{aligned}
G(z,n)
&=\sum_{m\ge 0}S_m(n)\frac{z^m}{m!}\\
&=\sum_{m\ge 0}\sum_{k=0}^{n-1}k^m\frac{z^m}{m!}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm e^{kz}\\
&=\frac{\mathrm e^{nz}-1}{\mathrm e^{z}-1}
\end{aligned}
\]
所以 \(\displaystyle G(z,n)=F(z)\frac{\mathrm e^{nz}-1}{z}\)，于是自然数幂和的公式也可以自然推导出来了 .
然后我们要用伯努利数的 EGF 干一个 nb 事：
首先我们由泰勒公式：
\[f(x)=\sum_{k\ge 0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
\]
设 \(x=x_0+\varepsilon\) 可得：
\[f(x_0+\varepsilon)=\sum_{k\ge 0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\varepsilon^k
\]
令 \(\varepsilon=1\) 并将 \(k=0\) 的式子移到左边可得：
\[\Delta f(x)=\sum_{k\ge 1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}
\]
设 \(\mathrm D =\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\)，然后可得：
\[\Delta f(x)=\sum_{k\ge 1}\frac{f(x_0)}{k!}\mathrm{D}^{k}=(\mathrm e^{\mathrm D}-1)f(x)
\]
实际上 8.6 闲话 就是上边这个东西，这表明：
\[\Delta=\mathrm e^{\mathrm D}-1
\]
因为 \(\Sigma\) 是 \(\Delta\) 的逆运算，所以：
\[\Sigma=\frac{1}{\Delta}=\frac 1{\mathrm D}\frac{\mathrm D}{\mathrm e^{\mathrm D}-1}=\int +\sum_{k\ge 1}B_k\frac{B_k}{k!}
\]
这非常 nb 啊，把两边应用到 \(f(x)\) 就可以得到没有余项的欧拉求和公式：
\[\sum_{a\le k<b}f(k)=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\left.\sum_{k\ge 1}\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b
\]
但是这个推导是形式的，没有考虑收敛性，所以是需要余项的，但是这个启发性很大啊！实现了离散和连续的无缝衔接 .
最后抛给大家一个小问题：
求 \(\displaystyle\int_a^b x^{\mathbb{d}x}\) 的值